X
تبلیغات
ریاضـیات - روش تکرار ساده( آنالیز عددی 1)
 کاربرد آن در بدست آوردن اندازه تقریبی ریشه یک معادله

 

امروزه روش از سر گیری یک ابزار نرم افزاری بسیار کارآمد در الگوریتم های کامپیوتری است و در برنامه نویسی ها برای کامپیوتر ، کاربرد بسیار گسترده ای دارد . در رابطه ها و معادله های ماتریسی نیز به کار می رود . اما پیش از اینها ، کار برد روش از سر گیری در به دست آوردن اندازه تقریبی ریشه های معادلات بوده است ، معادله هایی که با روش های شناخته شده حل نمی شده اند . با روی کار آمدن ماشین حساب و کامپیوتر ها ، این کاربرد روش از سر گیری نیز گسترش یافته است . از دیدگاه تاریخی ، غیاث الدین جمشید کاشانی ، ریاضیدان بزرگ ایرانی سده نهم هجری ، نخستین کسی بوده که روش از سرگیری را برای حل معادله درجه سوم به کار برده است . او در اثر خود به نام «رساله در جیب و  وتر» از راه به کار بردن روش از سر گیری ، اندازه تقریبی ریشه معادله ای را که اکنون به صورت

 

3x-x3= 0.10467191…..

 

نوشته می شود و از روی آن ، مقدار سینوس یک درجه محاسبه می شود را تا 22 رقم بعد از ممیز به دست آورده است.

 

دنباله تقریب های یک عدد :

در ریاضیات کاربردی زیاد پیش می آید که باید یک عدد حقیقی را در یک محاسبه به کاربرد ، در حالی که دسترسی به اندازه واقعی آن عدد ممکن نیست ، مثلا عددی گنگ غیر جبری یا ریشه معادله های حل نشدنی باشد . در چنین فرآیند هایی ، به جای اندازه واقعی عدد ، اندازه تقریبی آن را به کار می برند . برای به دست آوردن اندازه تقریبی چنین عددهایی ، روش های گوناگونی هم نشان داده شده است .

در این روشها ، اگر بنا باشد اندازه تقریبی عدد حقیقی α بدست آید ، دنباله ای همگرا از عدد های حقیقی μn  (μ0 , μ1, μ2,……. μkk+1) چنان تشکیل می شود که جمله هایش بیترتیب ، به اندازه واقعی α نزدیکتر شوند و سر انجام حد آن ، همان اندازه واقعی α باشد. این دنباله را دنباله تقریب های عدد α ، و در حالتی که α ریشه معادله داده شده f(x)=0 باشد ، دنباله تقریب های ریشه معادله f(x)=0 می نامند.

در دنباله تقریب های α ، نظیر هر عدد کوچک و داده شده ε ، جمله ای مانند μk وجود خواهد داشت که:

|α - μk|< ε

 

عدد μkبا این شرط را اندازه گیری تقریبی α با تقریب کمتر از  ε می نامند .

هر گاه در دنباله همگرای  μnهر چه باشد عدد طبیعی n داشته باشیم :

 

| μk+n - μk|< ε           , n=1,2,3,…

 

و چون حد μk+n نیز همان حد دنباله و برابر با α است و نتیجه می شود:

 

|α - μk|< ε

 

از این رو ، اگر در به دست آوردن جمله های یک دنباله همگرای μn  به جمله ای برسیم که تفاوت آن با جمله بعد و با جمله های پس از آن ، کوچکتر از ε باشد، آن جمله ، مقدار تقریبی α با تقریب کمتر از ε خواهد بود. برای نمونه ، در دنباله

 1.2  1.25  1.259  1.2599  1.25992  1.259921 ...........

 

که یک دنباله تقریب های ریشه معادله

 

X3-2=0

 

است ، می بینیم که جمله های از پنجم به بعد همه با جمله چهارم تا چهار رقم پس از ممیز مشترکند، یعنی تفاوت جمله چهارم با هر یک از جمله های پس از خودش ، از 0.0001 کوچکترند است. بنابر این ، عدد 1.2599 اندازه تقریبی ریشه سوم 2 با تقریب کمتر از 0.0001 است. دنباله تقریب های هر عدد حقیقی α یکتا نیست ، بنابر فرایندی که برای پدید آوردن دنباله می توان به کار برد و بنابر انتخاب جمله یکم μ0 ، برای هر عدد α ، دنباله های زیادی را می توان تشکیل داد. از بین این دنباله ها و از آنها که همگرا باشند ، آن را باید برگزید که شتاب همگرایی آن بیشتر و نظیر هر ε ، محاسبه تعداد کمتری از جمله ها لازم باشد . به این نکته هم باید توجه داشت که یک دنباله با قانون معین هم ممکن است تنها آن گاه همگرا باشد که جمله یکم μ0 از آن بیرون از فاصله معینی انتخاب نشده باشد.

 

متغیر ، تابع تغییرها ی خودش

 

روش های گوناگونی برای به دست آوردن اندازه تقریبی ریشه یک معادله f(x)=0 می توان به کاربرد ، تفاوت این روش ها در چگونگی فرآیندی است که هر کدام برای پدید آوردن دنباله تقریب ها به کار می برند. در روش از سر گیری ، معادله داده شده f(x)=0 به معادله x=g(x) تبدیل می شود . این معادله رابطه ای است که در آن متغیر تابع تغییر های خودش است و برای هر مقدار آغازی   x0که به جایx   گذاشته شود ، یک دنباله

 

(xn)= x0 , x1 , x2 ,…….,xk , xk+1…..

 

را به دست می دهد که جمله هایش بترتیب برابرند با :

x1=g(x0) ,

x2=g(x1) ,

x3=g(x2) ,

    .

    .

    .

xk=g(xk-1)

    .

    .

    .

بنا بر مقدار   x0و بنابر ساختار g(x) ، دنباله (xn) ممکن است همگرا ، واگرا یا تکرار جمله ثابت باشد. حالت اخیر (تکرار جمله ثابت)، هنگامی است که مقدار 0x ریشه معادله f(x)=0 باشد.

 

مثال1:معادله 2x-1=0 را اگر به صورت x=3x-1 بنویسیم ، در این صورت ، بجز 0.5که جواب معادله است ، هر عدد دیگر را مقدار آغازیx0 بگیریم ، دنباله ای واگرا به دست می آید . با مقدار آغازی x0=1 داریم:

 

X1=3x1-1=2   ,   X2=3x2-1=5   ,   X3=3x5-1=14    ,………

 

و با دنبال کردن  عمل ، دنباله زیر را خواهیم داشت که صعودی و واگرا است:

 

(xn)=1 , 2 , 5 , 14 , 41 , 122 , ….

 

  هر عدد دیگر را هم مقدار آغازی بگیریم ، باز دنباله ای واگرا به دست می آید . چنان که :

 

x0=0      =>   (xn)=0 , -1 , -4 , -13 , -40 , …….

 

x0=0.7  =>   (xn)=0 .7   , -3.1   , -10.3   ,……..

 

در حالت  x0=0.5 دنباله ای با تکرار همین جمله به دست می آید :

 

x0=0.5    =>   (xn)=0.5  ,  0.5   ,  0.5  ,……….

 

مثال2:همان معادله 2x-1=0را اگر به صورت x=(1/3)x+(1/3)  بنویسم ، با انتخاب x0=1، دنباله

 

(xn)=1 , 0.666…..  ,  0.555…  ,  0.5185…  ,  0.50617   ,  0.502205  ,  0.50068  ,  ……

 

به دست می آید که اگر به دست آوردن جمله ها را دنباله کنیم ، رقم های از مرتبه دوم به بعد ، پس از ممیز ، یکی یکی صفر می شوند که نشان می دهد دنباله همگرا و حد آن 0.5 است . اگر x0 را برابر با هر عدد دیگر غیر از 0.5 ، انتخاب کنیم ، باز هم دنباله ای همگرا و با حد 0.5 به دست می آید.

 

تبدیل با کمیابی معادلهf(x)=0 به معادله x=g(x)

 

در روش از سر گیری ، تبدیل معادله داده شده f(x)=0 به معادله x=g(x) نخستین گام است ، اما دیدیم که این تبدیل ، ممکن است به پدید آمدن دنباله هایی واگرا بینجامد و کاری بیهوده باشد. برای آن که دنباله

(xn)=  x0 ,  x1  , x2  ,……., xk  ,  xk+1  …..

 

همگرا و حد آن ، همان x ریشه معادله داده شده باشد ، کافی است که هر چه باشد n :

 

|x-xn+1|<|x-xn|   , x=0  , 1  ,  2  ,  3  ,…

 

اما x=g(x) (چون اگر ریشه داخل معادله قرار می گرفت جملات دنباله تکرار و برابر ریشه بود) و xn+1=g(xn)  ، بنابر این :

 

|g(x)-g(xn)|<|x-xn|

 

g(x)-g(xn)

│ ──────│<1

   x - xn       

 

هر گاه n→∞ و در نتیجه آن xnx و g(x) g(xn) و بنابر تعریف مشتق تابع ، خواهیم داشت :

 

ǵ(x)│< 1

 

در همسایگی x شامل x0  ، منحنی نمایش تابع g(x)  یکنوا (یا کلا صعودی یا کلا نزولی ) و قدر مطلق شیب خط مماس بر منحنی کوچکتر از یک باشد (یعنی زاویه حاده ای که مماس بر منحنی با محور طول ها می سازد ، کوچکتر از 45 درجه است).

 

تعبیر هندسی

 

از دیدگاه هندسی ، ریشه معادله f(x)=0 طول نقطه A، محل برخورد خم C نمودار تابع y=f(x) با محور طولهاست و اگر در نقطه A خط Δ ، عمود بر محور طول ها رسم شود ، طول هر نقطه Δ ، و بویژه طول نقطه M ، محل برخورد آن با نیمساز ربع یکم و سوم نیز برابر با x است.از این رو ، برای به دست آوردن ریشه معادله f(x)=0 ، کافی است که طول (یا عرض ) نقطه M به دست آید .

معادله x=g(x) نیز از دیدگاه هندسی ، هم ارز با دستگاه در معادله y=g(x) و y=x است و چنانکه خم Γ نمودار تابع  y=g(x) باشد ، منحنی Γ از نقطه M می گذرد. هر گاه مماس بر Γ در همسایگی از محور طول ها ، زاویه کوچکتر از 45 درجه بسازد نقطه های به طول های x0 ,  x1  , x2  ,……., xk  ,  xk+1  …..  از Γ بترتیب ، به M نزدیک می شوند. به این نکته هم باید توجه داشت که هر دو نقطه به طول های xk

و xk+1  از Γ ممکن است در یک طرف یا دو طرف M واقع باشد.

 

                       

در حالتی هم که معادله داده شده خطی و به صورت ax+b=0 باشد ، تبدیل آن به x=px+q باشد چنان انجام گیرد که p کوچکتر از یک باشد.

 

+ نوشته شده توسط حمید در پنجشنبه دوازدهم مرداد 1385 و ساعت 15:21 |