مثل اينکه يه عدد جديد توسط يه استاد رياضي در يونان کشف شده که خواص جالبي داره!

 
                                                   142857                                   

اگر عدد مذکور را در دو ضرب کنيم، حاصل: 285714 ميشود! (به ارزش مکاني 14 توجه کنيد).

اگر اين عدد را در سه ضرب کنيم حاصل: 428571 ميشود!(به ارزش مکاني 1 توجه کنيد).

اگر اين عدد را در چهار ضرب کنيم حاصل: 571428 ميشود!( به ارزش مکاني 57 توجه کنيد).

اگر اين عدد را در پنج ضرب کنيم حاصل: 714285 ميشود!(به ارزش مکاني 7 توجه کنيد).

اگر اين عدد را در شش ضرب کنيم حاصل: 857142 ميشود! (سه رقم اول با سه رقم دوم جا بجا شده)

اگر اين عدد را در هفت ضرب کنيم حاصل: 999999 ميشود!

البته اين عدد به تازگي کشف نشده! بلکه هزاران ساله که به عنوان يه عدد جالب مورد توجه بوده. 142857 در واقع دوره گردش عدد 1/7 هست و خاصيتهاي جالب ديگه اي هم داره!

همونطور که ميبينيد، مضارب اين عدد همه يا 142857 (با گردش حلقوي) هستند يا 999999 . جالب اينجاست که براي اعداد بزرگتر هم اين روند به صورت ديگه اي ادامه داره!
مثلا 8*142857 ميشه 1.142.856، حالا اگه رقم اول رو با 6 رقم بعد جمع کنيد حاصل ميشه: 142.857 
42*142857 ميشه 5.999.994، حالا اگه رقم اول رو با 6 رقم بعد جمع کنيد حاصل ميشه: 999.999 
و 142857*142857 ميشه 20.408.122.499، حالا اگه 5 رقم اول رو 6 رقم بعد جمع کنيد حاصل ميشه: 142.857   


اين عدد بهترين عدد حلقوي هست!
چند عدد حلقوي ديگه عبارتند از:
0588235294117647
052631578947368421
0434782608695652173913
0344827586206896551724137931
0212765957446808510638297872340425531914893617
0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661
016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459

روش كار اراتوستن برای محاسبه شعاع زمين

اراتوستن سر كتابدار موزه اسكندريه ، نخستين كسي بود كه اندازه زمين را محاسبه كرد . وي متوجه شد كه در ظهر روز تابستاني آفتاب تابستاني ، ستونهاي عمودي در سيرن (اسوان امروز ) هيچ سايه اي نمي اندازد اما همان وقت در اسكندريه در شمال سيرن ستوان عمودي عقربه ساعت خورشيدي سايه مي اندازد . با اندازه گيري طول سايه و ارتفاع ستون ، وي تعيين كرد كه فاصله اسكندريه با سمت الراس ، 7.2 درجه است و از آنجايي كه اين رقم حدود يك پنجاهم 360 درجه است پس محيط زمين بايد پنجاه برابر فاصله اسكندريه و سيرن باشد . سپس محيط زمين به دست آمد و به اين ترتيب قطر زمين به دست مي آيد كه فقط 150 كيلومتر با ميزان فعلي تفاوت دارد.

ماشين رياضي جديدي براي رام كردن اعداد اول (‪(۲

در سال ‪ ۱۹۸۳‬روشي كشف شد كه بسيار نزديك به روشهاي تواني بود. اين روش كه به وسيله سه رياضي دان به نامهاي لئونارد آدلمن از دانشگاه كاليفرنياي جنوبي، كارل پومرانس از آزمايشگاهاي بل در موري هيل نيو جرسي، و رابرت روملي از دانشگاه جورجيا كشف شد به نام خود آنان به روش آپي آر ‪ APR‬شهرت يافت.

در اين روش زمان محاسبه يك عدد داراي ‪ d‬رقم براي است با ‪.(d)ln ln d‬
در اين فرمول
(‪ (ln ln d‬به معناي لگارتيم لگاريتم ‪ d‬است. به لحاظ فني اين روش غير تواني است زيرا توان آن ثابت نيست و زياد مي‌شود. اما سرعت اين ازدياد بسيار بسيار كند است. يعني به ازاي ‪ d =10100‬ميزان ازدياد اين توان تنها ‪ ۵.۶‬مرتبه است. رياضي دانان به شوخي مي‌گويند كه ثابت شده اين توان به سمت بينهايت ميل مي‌كند اما چنين چيزي در عمل مشاهده نشده.

سوالي كه براي رياضي دانان مطرح است آن است كه آيا مي‌توان به روشي دست يافت كه به معناي دقيق و فني كلمه روشي تواني باشد. هيچ كس تصور نمي‌كرد كه احتمال چنين موفقيتي وجود داشته باشد تا اينكه گروه آگراوال بمب خود را منفجر كرد.

ايده انقلابي اين سه تن در سال ‪ ۲۰۰۲‬و زماني كه كايال و سكسنا هنوز دانشجوي دوره ليسانس بودند مطرح شد. در ابتداي سال جاري يك روايت بهبود يافته از روش پيشنهادي اين سه كه به آلگوريتم آ.ك.اس شهرت يافته در نشريه "آنالز او متمتيكس ‪ "Annals of Mathematics‬انتشار يافت.

اين آلگوريتم از نوع روشهاي تواني است و علاوه برآن بسيار ساده است (لااقل براي رياضي دانان چنين است). اين روش از اعقاب يك روش آزمون قديمي موسوم به قضيه كوچك پي‌ير فرما است.

اين قضيه را نبايد با قضيه اصلي فرما كه چند سال قبل پس از ‪ ۳۰۰‬سال اثبات شد اشتباه كرد. اين قضيه مبتني بر نوعي حساب متكي به قدر مطلق ‪modular‬موسوم به "حساب ساعت ‪ "clock arithmetic‬است علت آن تست كه در اين روش اعداد به شكل اعداد روي صفحه ساعت جمع مي‌شوند.

براي آشنايي با اين حساب خاص مورد زير را در نظر بگيريد. يك عدد دلخواه انتخاب كنيد و آن را قدر مطلق ‪ modulus‬بناميد. در مثال ساعت، اين عدد خاص كه قدر مطلق ناميده مي‌شود و مبناي محاسبه قرار مي‌گيرد، عدد ‪ ۱۲‬است.

حال در هر نوع محاسبه رياضي با اعداد صحيح براي تبديل آن سيستم عددي به سيستم عددي قدر مطلق ‪ ۱۲‬كافي است بجاي همه مضارب صحيح عدد ‪ ۱۲‬عدد صفر قرار داده شود. همه اعداد ديگر بر همين اساس تغيير مي‌كنند.

مثلا عدد ‪ ۲۵‬برابر است با ‪ . + ۲۴۱‬بنابراين عدد ‪ ۲۵‬در اين سيستم قدر مطلق برابر است با "‪ ۱‬به قدر مطلق ‪ ."۱۲‬سيستمهاي حساب متكي به قدر مطلق به تعريفي كه ذكر شد سيستمهاي زيبايي هستند زيرا در آنها همه قواعد حساب متعارف كار مي‌كند و درعين حال برخي از اعداد غيرصفر درآن ناپديد مي‌شوند.

قضيه كوچك فرما مي‌گويد اگر يك عدد اول را به عنوان قدر مطلق انتخاب كنيد ، داراي يك مشخصه ويژه خواهد بود. اين مشخصه عبارت از آن است كه يك فرمول خاص يعني ‪ (a)p-1‬در اين سيستم همواره برابر يك خواهد بود.

در اين فرمول ‪ p‬عبارت است از عدد اولي كه به عنوان قدر مطلق انتخاب شده و ‪a‬هر عدد ديگر است كه ضريب ‪ p‬محسوب نمي‌شود.

اگر مقدار فرمول بالا برابر يك نباشد آنگاه عددي كه به عنوان عدد اول تصور كرده بوديد يعني ‪ p‬عدد اول نيست.

به اين ترتيب مي‌توان از اين قضيه كوچك فرما به عنوان مبنايي براي تدوين آزموني جهت تعيين اعداد اول استفاده كرد. اين آزمون كاملا بي‌نقص نيست زيرا شماري از اعداد غير اول نيز از غربال آن رد مي‌شوند.

اما مي‌توان روايت هاي پيچيده تر و دقيق تري از اين آزمون را توليد كرد كه بسادگي به اعداد غير اول اجازه ورود ندهند. يك نمونه پيشرفته از اين آزمونها همان روش "آ.پي.آر" است كه در بالا اشاره شد.

گروه آگراوال از همين قضيه كوچك فرما استفاده كرد اما آن را به نحو ديگري بسط داد. اين گروه به عوض آنكه با اعداد كار كنند از چند جمله‌اي‌ها استفاده كردند.

چند جمله‌اي‌ها عباراتي جبري هستند نظير (‪ .a + b(2‬ايده استفاده از اين روش محصول كوشش آگراوال در دوراني بود كه بر روي رساله دكتري خود كار مي‌كرد و به اتفاق استاد راهنماي خويش "سومنات بيسواس" در سال ‪ ۱۹۹۹‬مقاله- اي را به چاپ رساند كه در آن يك روش آزمون اعداد اول پيشنهاد شده بود كه از همين چند جمله‌اي‌ها استفاده مي‌كرد و به شيوه احتمالاتي محاسبات را انجام مي داد.

آگراوال بر اين باور بود كه مي‌تواند اين روش پيشنهادي را دقيق‌تر و عنصر احتمالاتي آن را حذف كرد.

در سال ‪ ۲۰۰۱‬دو تن از دانشجويان او يعني كايال و سكسنا به يك نكته بسيار حساس و فني توجه كردند. ابتدا اين مساله سبب شد تا گروه سه نفره در آبهاي عميق نظريه اعداد غوطه ور شوند، اما اندك اندك برايشان روشن شد كه تنها يك مانع در راه تكميل روشي جهت آزمودن دقيق و سريع اعداد اول وجود دارد.

مانع از اين قرار بود كه روش آنان تنها در صورتي كار مي‌كرد كه عدد اول مورد نظر كه با ‪ p‬نمايش داده مي‌شود همواره در محدوده خاصي جاي داشته باشد كه با اعدادي كه در آزمون شركت داده مي‌شوند مرتبط باشد.

مشخصه ويژه اين مانع آن است كه عدد " ‪ "p-1‬بايد يك مقسوم عليه يا بخشياب بسيار بزرگ باشد.

ادامه دارد...

ماشين رياضي جديدي براي رام كردن اعداد اول (‪(۱

اعداد اول بسيار زيبا و جذابند و در عين حال معماي حيرت انگيز و سرگردان‌كننده اي را در برابر رياضي دانان مطرح ساخته اند: تعريف اين اعداد كاملا ساده است، رفتار آنها در سلسله اعداد و نحوه ظاهر شدنشان در آن كاملا بي‌نظم و فاقد قاعده به نظر مي‌آيد و هرچه شمار بيشتري از آنها شكارمي‌شوند، كار شكار بعدي‌ها دشوارتر مي‌شود.

طي قرنهاي متمادي رياضي دانان در شرق و غرب عالم به جستجوي راههايي براي دستيابي به اعداد اول برخاسته‌اند و با اين همه بهترين روشهايي كه تا بحال در اين زمينه ابداع شده چنان كند است كه حتي پر سرعت‌ترين كامپيوتر هاي كنوني نيز نمي‌توانند كمك چنداني در شكار اين اعداد شگفت انگيز كنند.

اعداد اول بر طبق تعريف اعدادي هستند كه تنها به ‪ ۱‬و بر خودشان تقسيم پذيرند. به عنوان نمونه اعداد ‪ ۲،۳،۵،۷،۱۱،۱۳،۱۷،۱۹‬اعداد اول كمتر از ‪۲۰‬ در سلسله اعداد طبيعي هستند. اما هرچه در اين سلسله پيش تر برويم اعداد اول ناياب تر مي‌شوند.

بطوريكه اگر چندين ميليون بار به سرعت كامپيوتر هاي كنوني افزوده شود، تنها چند رقم به شماره ارقام بزرگترين عدد اولي كه تا به حال شناخته شده افزوده مي‌گردد.

رياضي دانان در آرزوي دست يافته به روشي هستند كه با استفاده از آن بتوانند با سرعت به يافتن اعداد اول توفيق يابند و يا اگر با عددي هر اندازه پر رقم و بزرگ روبرو شدند بتوانند با سرعت مشخص سازند كه آيا عدد اول است ؟ - اما يافتن چنين روشي به فسفر مغز نياز دارد و نه سرعت كامپيوتر. -
اما يك گروه از رياضي دانان هندي مدعي شده‌اند كه در آستانه دستيابي به همان آزموني هستند كه رياضي دانان قرنها مشتاقانه در آرزويش بوده اند.

مانيندرا اگراوال ‪ ,Manindra Agrawal‬و دانشجويانش نيراج كايال ‪Neeraj‬ ‪ Kayal‬و نيتين سكسنا ‪ Nitin Saxena‬در موسسه تكنولوژي كانپور مدعي شده‌اند كه در آستانه تكميل آزموني هستند كه اول بودن يا نبودن هر عدد طبيعي را با سرعت مشخص مي‌كند. اين آزمون در صورتي كه تكميل شود مي‌تواند تبعات و نتايج بسيار گسترده‌اي براي جهان كنوني به بار آورد.

درحال حاضر بسياري از معاملات تجاري و نقل و انتقالات مالي و نيز مبادله اطلاعات محرمانه از طريق شبكه هاي مخابراتي مانند اينترنت و با بهره گيري از رمز كردن پيامها به انجام مي‌رسد.

اعداد اول در تنظيم اين قبيل رمزها نقشي اساسي بر عهده دارند و از همين رو دستيابي به اعداد اول جديد كه ديگران از آن بي‌خبر باشند براي سازندگان اين رمزها و نيز مشتريان آنان از اهميت زياد برخوردار است.

اما اگر روش اين محققان هندي تكميل شود در آن صورت امنيت اين قبيل نقل و انتقالات در معرض خطر جدي قرار خواهد گرفت.

سابقه قرار گرفتن رياضي دانان تحت جاذبه اعداد اول به قرنها پيش باز مي گردد. در سال ‪ ۱۸۰۱‬كارل گائوس از بزرگترين رياضي دانان اعلام كرد كه مساله تشخيص اعداد اول از اعداد غير اول يكي از مهمترين مسائل حساب به شمار مي‌آيد.

اعداد اول به يك معنا همان نقشي را در سلسله اعداد بازي مي‌كنند كه اتمها در ساختار بناي كيهان دارند- اين اعداد سنگ بناي ناپيداي ديگر اعداد محسوب مي‌شوند.

يكي از عادي‌ترين راههاي شناسايي اعداد اول تقسيم آن به ديگر اعداد است.

از طرف ديگر با اندكي تامل روشن مي‌شود كه اعداد زوج عدد اول نيستند زيرا همگي بر ‪ ۲‬قابل قسمتند.

اعدادي كه بتوان جذر آنها را به دست آورد نيز اول نيستند. اما اين روشها براي شناسايي اعداد اول بزرگ به كلي بي‌فايده‌اند. به عنوان مثال اگر عدد اولي داراي ‪ ۱۰۰‬رقم باشد در آن صورت كل عمر باقيمانده از كيهان بر اساس نظريه هاي جديد كيهانشناسي نيز براي مشخص كردن اول بودن يا نبودن اين عدد با اين شيوه هاي متعارف كفايت نمي‌كند.

بنابراين رياضي دانان به سراغ روشهاي ديگر رفته‌اند. مهمترين سوال در مورد همه اين روشها آن است كه با چه سرعتي مي‌توانند يك عدد اول را مشخص كنند و با ازدياد ارقام عدد اول زمان لازم براي محاسبه چه اندازه طولاني تر مي شود. اگر به عنوان مثال زمان محاسبه به توان ثابتي از شمار ارقام عدد ازدياد يابد در آن صورت اين روش روش قابل قبولي به شمار آورده مي‌شود .

به اين نوع روشها كه زمان به صورت تواني در آنها افزوده مي‌شود "روشهاي تواني" مي‌گويند. روشهاي ديگر كه زمان در آنها با سرعت بيشتري افزايش مي‌يابد روشهاي غيرتواني نام دارند.

به عنوان مثال روش تقسيم معمولي يك روش غيرتواني براي يافتن اعداد اول است. در اين روش زمان لازم براي تعيين اول بودن يك عدد با ‪ d‬رقم، برابر با ‪ /۱۰d/2‬اين نوع روشها بسيار نامناسبند.

در سال ‪ ۱۹۵۶‬منطق‌دان برجسته آلماني كورت گودل اين پرسش را مطرح ساخت كه آيا مي‌توان اين نوع روشهاي تقسيم را بهبود بخشيد. تلاش خود او نهايتا به كشف شماري از روشهاي عملي براي يافتن اعدادي به بزرگي ‪ ۱۰۰‬رقم يا بيشتر منجر شد. همه اين روشها احتمالاتي هستند و بنابراين در مواردي پاسخ غلط به دست مي‌دهند هرچند كه اين موارد بسيار نادرند.

ادامه دارد...

هندسه نااقليدسى و نسبيت عام اينشتين

                                       
احمدرضا همتى مقدم

در قرن نوزدهم دو رياضيدان بزرگ به نام «لباچفسكى» و «ريمان» دو نظام هندسى را صورت بندى كردند كه هندسه را از سيطره اقليدس خارج مى كرد. صورت بندى «اقليدس» از هندسه تا قرن نوزدهم پررونق ترين كالاى فكرى بود و پنداشته مى شد كه نظام اقليدس يگانه نظامى است كه امكان پذير است. اين نظام بى چون و چرا توصيفى درست از جهان انگاشته مى شد. هندسه اقليدسى مدلى براى ساختار نظريه هاى علمى بود و نيوتن و ديگر دانشمندان از آن پيروى مى كردند. هندسه اقليدسى بر پنج اصل موضوعه استوار است و قضاياى هندسه با توجه به اين پنج اصل اثبات مى شوند. اصل موضوعه پنجم اقليدس مى گويد: «به ازاى هر خط و نقطه اى خارج آن خط، يك خط و تنها يك خط به موازات آن خط مفروض مى تواند از آن نقطه عبور كند.» هندسه «لباچفسكى» و هندسه «ريمانى» اين اصل موضوعه پنجم را مورد ترديد قرار دادند. در هندسه «ريمانى» ممكن است خط صافى كه موازى خط مفروض باشد از نقطه مورد نظر عبور نكند و در هندسه «لباچفسكى» ممكن است بيش از يك خط از آن نقطه عبور كند. با اندكى تسامح مى توان گفت اين دو هندسه منحنى وار هستند. بدين معنا كه كوتاه ترين فاصله بين دو نقطه يك منحنى است.
هندسه اقليدسى فضايى را مفروض مى گيرد كه هيچ گونه خميدگى و انحنا ندارد. اما نظام هندسى لباچفسكى و ريمانى اين خميدگى را مفروض مى گيرند. (مانند سطح يك كره) همچنين در هندسه هاى نااقليدسى جمع زواياى مثلث برابر با ۱۸۰ درجه نيست. (در هندسه اقليدسى جمع زواياى مثلث برابر با ۱۸۰ درجه است.) ظهور اين هندسه هاى عجيب و غريب براى رياضيدانان جالب توجه بود اما اهميت آنها وقتى روشن شد كه نسبيت عام اينشتين توسط بيشتر فيزيكدانان به عنوان جايگزينى براى نظريه نيوتن از مكان، زمان و گرانش پذيرفته شد. چون صورت بندى نسبيت عام اينشتين مبتنى بر هندسه «ريمانى» است. در اين نظريه هندسه زمان و مكان به جاى آن كه صاف باشد منحنى است. نظريه نسبيت خاص اينشتين تمايز آشكارى ميان رياضيات محض و رياضيات كاربردى است. هندسه محض مطالعه سيستم هاى رياضى مختلف است كه به وسيله نظام هاى اصول موضوعه متفاوتى توصيف شده اند. برخى از آنها چندبعدى و يا حتى nبعدى هستند. اما هندسه محض انتزاعى است و هيچ ربطى با جهان مادى ندارد يعنى فقط به روابط مفاهيم رياضى با همديگر، بدون ارجاع به تجربه مى پردازد. هندسه كاربردى، كاربرد رياضيات در واقعيت است. هندسه كاربردى به وسيله تجربه فراگرفته مى شود و مفاهيم انتزاعى برحسب عناصرى تفسير مى شوند كه بازتاب جهان تجربه اند. نظريه نسبيت، تفسيرى منسجم از مفهوم حركت، زمان و مكان به ما مى دهد. اينشتين براى تبيين حركت نور از هندسه نااقليدسى استفاده كرد. بدين منظور هندسه «ريمانى» را برگزيد.
هندسه اقليدسى براى دستگاهى مشتمل بر خط هاى راست در يك صفحه طرح ريزى شده است اما در عالم واقع يك چنين خط هاى راستى وجود ندارد. اينشتين معتقد بود امور واقع هندسه ريمانى را اقتضا كرده اند. نور بر اثر ميدان هاى گرانشى خميده شده و به صورت منحنى در مى آيد يعنى سير نور مستقيم نيست بلكه به صورت منحنى ها و دايره هاى عظيمى است كه سطح كرات آنها را پديد آورده اند. نور به سبب ميدان هاى گرانشى كه بر اثر اجرام آسمانى پديد مى آيد خط سيرى منحنى دارد. براساس نسبيت عام نور در راستاى كوتاه ترين خطوط بين نقاط حركت مى كند اما گاهى اين خطوط منحنى هستند چون حضور ماده موجب انحنا در مكان - زمان مى شود.
در نظريه نسبيت عام گرانش يك نيرو نيست بلكه نامى است كه ما به اثر انحناى زمان _ مكان بر حركت اشيا اطلاق مى كنيم. آزمون هاى عملى ثابت كردند كه شالوده عالم نااقليدسى است و شايد نظريه نسبيت عام بهترين راهنمايى باشد كه ما با آن مى توانيم اشيا را مشاهده كنيم. اما مدافعين هندسه اقليدسى معتقد بودند كه به وسيله آزمايش نمى توان تصميم گرفت كه ساختار هندسى جهان اقليدسى است يا نااقليدسى. چون مى توان نيروهايى به سيستم مبتنى بر هندسه اقليدسى اضافه كرد به طورى كه شبيه اثرات ساختار نااقليدسى باشد. نيروهايى كه اندازه گيرى هاى ما از طول و زمان را چنان تغيير دهند كه پديده هايى سازگار با زمان - مكان خميده به وجود آيد. اين نظريه به «قراردادگرايى» مشهور است كه نخستين بار از طرف رياضيدان و فيزيكدان فرانسوى «هنرى پوانكاره» ابراز شد. اما نظريه هايى كه بدين طريق به دست مى آوريم ممكن است كاملاً جعلى و موقتى باشند. اما دلايل كافى براى رد آنها وجود دارد؟
 

قضایایی از پیر فرما

 

                                                   
                                                            پیر فرما

پیر فرما (Pierre de Fermat) در سال 1601 در نزدیکی مونتابن (Montauban) فرانسه متولد شد. او فرزند یک تاجر چرم بود و تحصیلات اولیه خود را در منزل گذراند. سپس برای احراز پست قضاوت به تحصیل حقوق پرداخت و بعد ها بعنوان مشاور در پارلمان محلی شهر تولوز (Toulouse) انتخاب شد.

او باوجود علاقه بسیاری که به ریاضیات داشت هرگز بصورت رسمی و حرفه ای به این علم نپرداخت اما با این حال بسیاری او را بزرگترین ریاضی دان قرن هفدهم می دانند. او در سن 64 سالگی در شهر کاستر (Caster) در گذشت.

فرما برای تفریح به ریاضیات می پرداخت و امروزه بسیاری از اکتشافت او بعنوان مهمترین قضایا در ریاضیات مطرح می باشند. زمینه های مورد علاقه او در ریاضیات بیشتر شامل تئوری اعداد، استفاده از هندسه تحیلی در مقادیر بینهایت کوچک یا بزرگ و فعالیت در زمینه احتمالات بود.

قضیه کوچک فرما
از جمله قضایای زیبای او که به قضیه کوچک فرما معرف شده است می توان به این مورد اشاره کرد. اگر p یک عدد اول باشد و a یک عدد طبیعی در آنصورت a ^p-1 - 1 بر p قابل قسمت خواهد بود.

اثبات این قضیه از طریق استقرای ریاضی بسیار ساده است. این قضیه حالت عمومی تر دو قضیه دیگر در ریاضیات هست یکی قضیه ای منسوب به اویلر (Euler) و دیگری قضیه ای معروف به همنهشتی چینی (Chinese Hypothesis).

از دیگر قضایایی که او در طول زندگی خود ارائه کرد می توان به موارد زیادی اشاره کرد از جمله : "اگر a و b و c اعداد صحیح باشند و a²+b²=c² باشد در آنصورت ab نمی تواند مربع یک عدد صحیح باشد." اولین بار برای این قضیه لاگرانژ (Lagrange) راه حلی استادانه ارائه کرد.

قضیه آخر فرما
شاید جنجالی ترین قضیه ای که حتی خود فرما برای آن توضیح یا اثباتی ارائه نکرده است قضیه آخر او باشد که اینگونه است.

معادله aⁿ+bⁿ=cⁿ در دامنه اعداد صحیح برای مقادیر بزگتر از 2 پاسخ ندارد.

این معادله ساده و فریبنده سالهای سال برای ریاضیدانان دردسر بزرگی بوده است چرا که فرما در حاشیه یکی از یادداشت های خود نوشته بود : "من برای این قضیه اثبات بسیار حیرت آوری (Marvelous) دارم." اما متاسفانه هرگز در میان نوشته های او اثبات این قضیه پیدا نشد و تاریخ همواره در شک و شبهه مانده است که آیا او این قضیه را اثبات کرده است یا خیر.

عدد پی

 

                                             
روش ارشمیدس برای محسابه عدد p

مردم تمدنهای باستان بخوبی میدانستند که نسبت محیط هر دایره به قطر آن یک عدد ثابت می باشد که به 3 نزدیک است. یونانی ها قبل از ارشمیدس هم سعی در محاسبه دقیق این عدد نموده بودند اما ارشمیدس رسما" اولین شخصی بود که برای محاسبه عدد پی (p) روشی را ارائه داد.

او مقدار عدد پی را با تقریب محاسبه و اینگونه ارائه کرد :

²²³/₇₁ < p < ²²/₇

وی برای محاسبه عدد پی، بر یک دایره به قطر واحد از چندضلعی های محیطی و محاطی استفاده کرد.

مردم مصر باستان و تمدن بین النهرین (Mesopotamian) مقدار عدد پی را بترتیب حدود :

3.125 =²⁵/₈ و 3.162 = 10√

می دانستند. همچنین در یکی از پاپیروسهای مصری بطور مشخص برای نمایش نسبت محیط دایره به قطر آن از عدد :

²(⁸/₉)4 = 3.16

استفاده شده است.

در سال 1761 لامبرت (Lambert) ریاضیدان سوئدی ثابت کرد که عدد پی گنگ می باشد و نمی توان آنرا بصوت نسبت دو عدد صحیح نوشت. همچنین در سال 1882 لایندمن (Lindeman) ثابت کرد که عدد پی یک عدد جبری نیست و نمی تواند ریشه یک معادله جبری باشد که ضرایب آن گویا هستند(همانند عدد e). این کشف بزرگ یعنی اینکه عدد پی یک عدد گنگ می باشد به سالها تلاش ریاضی دانان برای تربیع دایره پایان داد.

باوجود آنکه همه ریاضی دانان می دانند که عدد پی گنگ می باشد و هرگز نمی توان آنرا بطور دقیق محاسبه کرد اما ارائه فرمول ها و مدلهای محاسبه عدد پی هموار برای آنها از جذابیت زیادی برخوردار بوده است. بسیاری از آنها تمام عمر خود را صرف محاسبه ارقام این عدد زیبا نمودند اما آنها هرگز نتوانستند تا قبل از ساخت کامپیوتر این عدد را بیش از 1000 رقم اعشار محاسبه نمایند.

اولین محاسبه کامپیوتری در سال 1949 انجام گرفت و این عدد را تا 2000 رقم محاسبه نمود و در اوخر سال 1999 یکی از سوپر کامپیوترهای دانشگاه توکیو این عدد را تا 206,158,430,000 رقم اعشار محاسبه نمود.

از فرمول های زیبای ریاضیات برای محاسبه عدد پی (p) می توان به سری معروف لایبنیتز (Leibnitz) اشاره کرد :

p = 4 * ( 1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... )