رواقيون

 

جمعى از فلاسفه‌اند كه كيش بت‌پرستى داشتند و در قرن سوم قبل از ميلاد مسيح پيدا شدند و به فريسيان شبيه بودند. مؤسس اين فلسفه ، زينو (زِنون) همواره در رواقى نشسته ايشان را تعليم ميداد. تعاليم اينان شبيه به تعاليم مذهب مسيح است، اما در بعضى موارد با مذهب مسيحيان مخالفت دارند، از آن جمله فضيلت ايشان مبنى بر عُجب و تكبر بود و حال آنكه مذهب مسيح به حلم و تواضع امر مى‌كند و نيز گويند كه نفس حكمت براى تصفيه و سعادتمند كردن انسان كافى است و مصيبتهاى اين جهان فقط شرور و نتايج اوهام غيرحقيقيه‌اند و شخص حكيم را نشايد كه از حزن متأثر شود و به فرح متوكل گردد و اينان در افعال و اعمال خود بسيار صابر و امين بودند. از مشاهير اين طريقه يكى اپكتتيس است كه در حدود سال 115 م. درگذشت و ديگرى مرقس اوريليوس امپراطور بود كه از سنهء 121 تا 180 م. مى‌زيست. پيروان اين فلسفه نسبت به ساير طوايف در اكتساب فضايل و آداب خود كمال حرص را داشتند و به وحدانيت خدا معتقد بوده آفرينش عالم را به واسطهء كلمهء كن و شمول عنايت الهى را بر جملهء كاينات مسلم ميداشتند. (از قاموس كتاب مقدس ذيل مادهء رواقيين).

همچنانكه اريستيپوس واسطهء ميان سقراط و ابيقور بوده كلبى‌ها هم واسطهء ميان آن مرد بزرگ و رواقيان بوده‌اند و اين جمله حكمت را تنها براى تعيين تكليف زندگانى و دستور اخلاقى ميدانستند و استفادهء علمى از آن نمى‌خواستند و بحث علت و معلول را به اندازه‌اى كه به اخلاق مدد مى‌رساند روا مى‌داشتند، حتى دربارهء رواقيان ميتوان گفت جمعيت ايشان جنبهء مذهبى بيشتر داشت تا فلسفى. در هر حال سرسلسلهء اين جماعت زينون(Zenon) نامى از اهل قبرس و از معاصران ابيقور بود و ديگرى از معتبرترين آنها خروسبس(Chrysipps) از مردم آسياى صغير كه شاگرد و جانشين زينون بوده است و آنان را رواقى از آن رو گفته‌اند كه حوزهء ايشان در يكى از رواقهاى شهر آتن منعقد مى‌شد. به عقيدهء رواقيان كلى يعنى آنچه افلاطون مثال و ارسطو صورت يا تصور مى‌خواند تنها در ذهن موجود است و ذهن انسان لوحى است ساده و معلومات او منحصراً از خارج به دست مى‌آيد يعنى بوسيلهء محسوسات كه در ذهن همچون نقش بر موم مى‌باشد. و فهم انسان چهار مرتبه دارد، وهم و گمان و ادراك و علم كه مرتبهء يقين است و اين چهار مرتبه را به اشاره بوسيلهء مشت باز و مشت نيم‌بسته و مشت بسته و مشتى كه در مشت ديگر قرار گرفته باشد نمودار ميكردند. كليهء رواقيان به منطق اهميت تمام ميدادند و بسيارى از اصطلاحها و فصل و بابهاى اين فن را آنها وضع و تنقيح كرده‌اند.

فلسفهء رواقيان نوعى از وحدت وجود(Pantheisme) است اما جسمانى نه روحانى، به اين معنى كه جز جسم وجودى قائل نيستند و معتقدند كه آن فاعل است يا منفعل. فاعل يعنى قوه (بمعنى قدرت نه به اصطلاح ارسطو) آن است كه در انسان روح يا نفس و در كليهء عالم پروردگار خوانده مى‌شود و منفعل آن است كه در انسان بدن و در عالم ماده مى‌نامند و اين دو امر يعنى قوه و ماده يا روح و بدن يا خدا و ماسوى كه حقيقت آنها واحد است با يكديگر مزج كلى دارند چنانكه وجود يكى در تمامى وجود ديگرى سارى است و انسان عالم صغير است و جهان عالم كبير. در باب حقيقت عالم از رأى هرقليطوس پيروى مى‌كنند كه اصل وجود را آتش مى‌دانست و آتش بدوى به هوا و آب و خاك تبديل يافت و دمى الهى دردميده شد و بنابراين هر فردى از موجودات از دم الهى بهره‌اى دارد و آن به قوه‌اى كه در او موجود است اجزاء عالم را نگاه ميدارد. مدار امر عالم بر ادوار است و عاقبت متلاشى مى‌گردد و رجوع به اصل يعنى آتش بدوى مى‌كند، پس از آن دور ديگر آغاز ميشود و كاملاً مانند دور سابق جريان مى‌يابد و آن نيز سرانجام متلاشى مى‌گردد و همچنين بينهايت. رواقيان جريان امور عالم را ضرورى ميدانند و جبرى‌مذهبند. در امور اخلاقى بيان ايشان از اين قرار است: انسان كه عالم صغير است و جسماً و روحاً پاره‌اى از عالم كبير مى‌باشد ناچار بايد از قوانين طبيعت پيروى كند و چون در عالم كبير طبيعت محكوم عقل كل است كه داخل وجود اوست انسان هم بايد عقل را حاكم بر اعمال خود بداند، پس عمل نيك و فضيلت آن است كه با عقل سازگار باشد و بنابراين انسان بايد نفسانيات را كه از حكم عقل منحرف ميشوند از خود دور كند و سكون خاطر را رها نكرده تأثر به خود راه ندهد و اگر چنين كرد و نفس را مغلوب عقل نمود فاعل مختار خواهد بود زيرا جز آنچه عقل حكم مى‌كند آرزو نخواهد بود و هرچه آرزو كند به آن خواهد رسيد. پس امور خارجى در آزادى و اختيار و خوشى و سعادت انسان تأثيرى ندارد و خوشى امرى درونى است يعنى به خرسندى خاطر است و هرچه خود را از علائق بيشتر رهايى دهد وارسته‌تر خواهد بود و اهتمام در وارستگى و آزادى چنان براى انسان واجب است كه جهت استخلاص از قيود و ناملايمات به خودكشى هم اگر محتاج شود باك نيست و از رواقيان كسانى كه رشتهء حيات خويش را به اختيار قطع كرده‌اند متعدد هستند.

فضايل از نظر رواقيان: فضيلت مقصود بالذات و غايت او خود اوست و آن در واقع يكى بيش نيست، يعنى حكمت يا شيوهء عقلايى كه جنبه‌هاى مختلف دارد، مثلاً اگر از حيث ترس و بى‌باكى ملحوظ شود دليرى نام مى‌گيرد و اگر نسبت به تمتعات در نظر بگيرند خوددارى خوانده ميشود و هرگاه در تعيين حصه‌ها و حقوق مردم منظور گردد دادگرى خواهد بود و نظر به اينكه فضايل همه از يك منشأ مى‌باشند هر كس داراى يكى از آنها باشد جامع همهء فضايل است و اگر فاقد باشد جامع رذايل خواهد بود. چون رواقيان اصول مذكور در فوق را در زندگانى مدار عمل قرار مى‌دادند و جز تقيد به پيروى از طبيعت و عقل هيچ امر ديگر را قابل اعتبار و اعتنا و انديشه نمى‌دانستند در نزد مردم به نخوت و بيقيدى و عدم عاطفه و درويشى و قناعت و بردبارى و خوددارى معروف گشته و از اين جهات ضرب‌المثل شده‌اند. اختلاف اقوام و ملل را هم قائل نبودند و همهء مردم را متساوى دانسته فرزند جهان مى‌خواندند و بنده گرفتن را جايز نمى‌شمردند. (نقل از سير حكمت در اروپا تأليف محمدعلى فروغى).

در كتاب تاريخ علم تأليف جرج سارتون و ترجمهء احمد آرام چنين آمده است: نمى‌توان گفت تاريخ پيدا شدن مذهب رواقى در چه زمان بوده، زيرا نمى‌دانيم مؤسس اين مكتب يعنى زنون چه وقت بدنيا آمده است، چون نزديكترين تاريخ تولدى كه براى وى گفته‌اند يعنى سال 336 ق . م. را در نظر بگيريم آن گاه بايد گفت كه مذهب رواقى بسختى مى‌تواند از محصولات اين قرن باشد و اگر هم باشد به سالهاى اخير آن مربوط مى‌شود، ولى اين تاريخ را تا سال 348 و حتى 356 نيز بالا برده‌اند و زنون به اين ترتيب از معاصران سالخورده‌تر اپيكوروس (ابيقور) بشمار مى‌رود. زنون تدريس خود را در آتن در تالار يا رواقى آغاز كرد كه آنرا تالار منقش يا ستوآ ( (He stoa he poicile مى‌ناميدند، چه در اواسط قرن پنجم ق . م. بوسيلهء پولوگنوتوس ثاسوسى Polygnotus of Thasos)) «مخترع نقاشى» نقاشى شده بود.

آن تالار را شاعران براى محل اجتماع خود انتخاب مى‌كردند و احتمال دارد كه درهاى آن بر روى كسانى كه ميخواستند در آنجا گرد يكديگر جمع شوند باز بوده باشد. چون زنون در آنجا به تدريس پرداخت مدرسهء او را رواق(Stoa) و پيروان او را رواقيان(Stoics) ناميده‌اند. بدشوارى مى‌توان در فلسفهء رواقى آنچه را منتسب به مؤسس آن است از آنچه بوسيلهء كلئانتس( Cleanthes) و ديگر پيروان زنون بر آن افزوده شد جدا كرد. بدون شك زنون اصول عقايد اين فلسفه را وضع و تشريح كرد و با گذشت زمان تغييراتى بر اين اصول وارد شد كه چندان مهم نبوده است. زنون فلسفه را به سه قسمت اساسى تقسيم مى‌كرد: فيزيك و اخلاق و منطق. فيزيك شالودهء معرفت است. منطق او از انتيستنس و ديودوروس كرونوس گرفته شده يعنى مطابق نمونهء كلبى و مگارايى است ولى خود زنون نيز شخصاً در جهات مختلف چيزهايى بر آن افزوده است. مثلاً در منطق او توجه بيشترى به مطالب صرف و نحوى شده است و صرف و نحو يونانى را مى‌توان تا حد زيادى از مخترعات زنون دانست. شاخه‌هاى ديگر منطق عبارت بود از معانى و بيان و جدل (ديالكتيك). معرفت‌شناسى يا بحث در امور عامهء( Epistemology)رواقيان نيز از ابتكارات خود ايشان است. به عقيدهء آنان معرفت از راه ادراكات حسى فراهم ميشود، با وجود اين بايد به اين گونه ادراكات با احتياط نظر كنند و چنان نباشدكه انسان هنگام استفاده از آنهادچاراوهام وخيالبافيها

( Fantaseis) شود. فيزيك رواقى مخلوطى از ماديگرى و وحدت وجود بود. رواقيان معتقد به وجود نيرو يا كششى بودند كه همه جا با ماده همراه است و همين كشش را سبب جزر و مد جهان مى‌دانستند. اين گروه نيز مانند پيروان اپيكوروس دچار تناقضات و ابهاماتى بودند، چه مانند ايشان به روحى اعتقاد داشتند كه مادى است و از ماده‌اى ظريفتر و لطيفتر از بدن ساخته شده است و نفوس در نظر ايشان جسمانى بود نه روحانى. بيشتر توجه ايشان معطوف به اخلاق بود و انديشهء سقراط را كه مى‌گفت فضيلت همان معرفت است، رواقيان به صورت كاملترى درآورده بودند: معرفت حقيقى آن است كه آدمى موافق با عقل يا طبيعت زيست كند، و اين خود مستلزم آشنايى و معرفت كامل طبيعت است (علم فيزيك، علم الهى). معرفت علمى خالص ايشان بيشتر از آنكه رنگ ارسطويى داشته باشد رنگ افلاطونى داشت، و بهمين جهت چندان روشن و خالص نبود. مثلاً اينكه افلاطون جهان كبير را متوازى با جهان صغير مى‌دانست، سبب اين اشتباه آنان شده بود كه براى خبرگيرى از غيب اهميت فراوان قائل شوند. در اين خصوص ايشان تابع سنن قديمى يونان بودند و به اين ترتيب خود را در درجهء پست‌تر از پيروان اپيكوروس قرار داده‌اند.

رواقيان ذره‌بينى را قبول نداشتند ولى جهانى كه به تصور ايشان مى‌رسيد كمتر از جهان ذره جنبهء مادى نداشت. هر چيز از چهار عنصر ساخته شده كه ترتيب آنها برحسب ازدياد درجهء لطافت چنين است: خاك، آب، هوا، آتش. خدا و عقل نيز مادى است، خواه عقل جهانى و خواه عقل فردى كه شبيه است به جزئى كه از خدا جدا شده باشد. اين عقل را نوعى از نفس و دم گرم مى‌دانستند. روح و نفس از آتش ساخته شده و در پايان دورهء جهان يك حريق جهانى( Ecpyrosis) همهء اين ارواح را به آتش الهى بازمى‌گرداند و پس از آن آفرينش جديدى( Palingenesia) امكان‌پذير مى‌شود. با وجود اين بايد دانست كه اين مطالب از مخترعات رواقيان متأخر است و نبايد آنها را متعلق به زمانهاى دورتر دانست. نكتهء مهمى كه در اين فلسفه از زمان زنون به بعد وجود داشته اين است كه جهان از ماده و عقل ساخته شده است و خود عقل و ماده دو جلوهء مختلف از حقيقت واحدى هستند، نه عقل بدون ماده وجود پيدا مى‌كند و نه ماده بدون عقل. بعبارت ديگر خدا تنها نيرويى است كه در همه جا نفوذ و جريان دارد، با وجود اين، نيرو و قوه را نميتوان از باقى جهان جدا كرد. بطور خلاصه بايد گفت كه مذهب رواقى كمتر از مذهب اپيكوروس جنبهء مادى نداشته، منتها جنبهء عقلى آن كمتر بوده است. اوج فلسفهء رواقى و افتخار ابدى آن در مورد امور اخلاقى است، خير اساسى تقوى و فضيلت است و فضيلت يعنى اينكه آدمى مطابق با عقل يا طبيعت زيست كند. صاحب فضيلت بودن خير منحصر به فرد و صاحب فضيلت نبودن شر منحصر به فرد است. هر چيز ديگر جز آن، از درويشى و بيمارى و رنج و مرگ قابل‌اعتنا نيست. مرد خوبى كه كسى نتواند تقوى و فضيلت را از وى بازستاند شكست‌ناپذير است. چون چنين شخصى به خود رجوع كند و به اين نكته متوجه شود كه اغلب بدبختيها از تصور و اعتقاد است، همين اعتقاد سبب آن مى‌شود كه به خود متكى باشد و منفعل نشود و از درد و رنج آزاد بماند. اين سكوت و سكون شبيه همان است كه اپيكوروسيان (ابيقوريان) داشته‌اند، منتها جنبهء انفعالى آن كمتر و نيرومندى آن بيشتر است (يا در زمان روميان چنين شده). تنها كافى نيست كه شخص تحمل و بردبارى نشان دهد بلكه شجاع نيز بايد باشد. يكى از لوازم مذهب رواقى آن بود كه مرد حكيم ناچار بايد تحصيل معرفت كند، چه براى آنكه كسى بتواند بر وفق طبيعت زندگى كند، لازم است كه جهان را بفهمد و بشناسد. ولى متأسفانه بيشتر رواقيان به علم و معرفت مختصرى دربارهء طبيعت قناعت مى‌كردند و فاقد حس كنجكاوى علمى بودند. فلسفهء رواقى دل را ترقى مى‌داد ولى حدت ذهن و فكر را سبب نمى‌شد. رواقيان به مشيت( Pronoia) قائل بودند ولى چنان مى‌پنداشتند كه راههاى مشيت را از طريق توسل به غيب( Manteia) مى‌توان پيدا كرد و اين خود نمونهء برجسته‌اى از تناقضات موجود در آن فلسفه است كه از فقدان دقت علمى و از تسليم شدن به احساسات و عواطفى كه بنابر سنن و تقاليد به آنان رسيده بود، نتيجه شده است. كتاب «سياست»( Politeia) از آثار گمشدهء زنون است و بنا به گفتهء پلوتارك اين كتاب را در جواب كتاب «جمهوريت» افلاطون نوشته بود. بنابراين بايد گفت كه رواقيان به سياست توجه داشته‌اند و از اين حيث بر پيروان اپيكوروس تفوق دارند، چه آنان با سكون و آرامش خود از سياست دورى كردند. مرد رواقى چنان مى‌پنداشت كه وظيفهء وى آن است كه در بلند كردن بار سياست سهم خود را ادا كند، و همين مطلب است كه معلوم مى‌دارد چرا فلسفهء رواقى در قانونگزارى و اصول ادارهء امپراتورى روم موفقيت پيدا كرده است. اصلى‌ترين و عالى‌ترين جنبهء اخلاق و سياست رواقى احساس اشتراك و همكارى است كه نه تنها بايد در مورد اهل ميهن و كشور انجام شود، بلكه بايد با تمام مردم جهان چنين باشد. در تحت تأثير انقلاب شگفت‌انگيزى كه با جهانگشايى اسكندر پيش آمده بود، اين مردم توانستند از زير بار يكى از نيرومندترين سنتهاى يونان شانه تهى كنند و روح شهر مركزى دوران هلنى را كنار  بگذارند.  رواقيان را بايد از  لحاظ  تاريخ  نخستين مردم  معتقد به  «جهان‌وطنى»

(Cosmopolitanism)دانست. اين عقيده وحدت نوع بشر يكى از منابع قانون رومى «حقوق اشخاص»(Jusgentium) است كه قاموس ملتها و قانون طبيعت بشمار مى‌رود. (نقل به اختصار از تاريخ علم تأليف جرج سارتن ترجمهء احمد آرام).

گفتگو با استاد شهریاری

دکتر پرویز شهریاری، پدر علم ریاضیات در ایران که تا کنون بیش از دویست عنوان کتاب در حوزه ریاضیات محض، ریاضی، تاریخ ریاضی، فلسفه ریاضی و... نوشته است، معتقد است:«اگر جوانان امروز به دروس ریاضیات و تاریخ توجهی نمی کنند، فقط به سیستم آموزشی بر می گردد».دکتر پرویز شهریاری هم اکنون در حال تالیف دو کتاب درباره زنان و ریاضیات و تاریخ ریاضیات در ایران و جهان است. ما با دکتر پرویز شهریاری، نویسنده و مترجم کتاب های«اوالیست گالوا»،«من ریاضی دانم»،«تاریخ ریاضیات»، «سرگذشت ریاضیات»،«اخلاق و فلسفه در ریاضیات» درباره افت تحصیلی و علمی دانشجویان ریاضی و ارتباط آن با فلسفه، گفت و گوی کوتاهی انجام داده ایم که می خوانید.

 

پرسش:شما سال ها به عنوان پیشکسوت در علم ریاضیات نو، در دانشگاه های تهران، تدریس کرده اید، در زمانی که شما دانشجوی این رشته در دانشگاه تهران بودید، استقبال از رشته تحصیلی ریاضی چگونه بود؟

 پاسخ:علم و رشته تحصیلی ریاضی در همه جای دنیا متقاضیان و علاقمندان محدود و مخصوص به خود دارد. طبیعی است که علاقمندان این رشته به اندازه علاقمندان رشته هایی مثل علوم انسانی نیست. اما در زمان ما به خاطر اینکه هنوز کنکور تستی نشده بود، دانشجویان و علاقمندان این رشته به صورت مفهومی با هر درسی و هر علمی بر خورد می کردند. از جمله با ریاضیات. اگر کسی به رشته ریاضیات علاقمند بود، طبعا باید این رشتته را می فهمید و فهم ریاضیات ارتباط بسیار مستقیمی با تاریخ ریاضیات و فلسفه دارد. بخصوص در دو قرن اخیر که ارتباط فلسفه با ریاضیات به صورت مستقیم شده است. اساسا درزمان شکل گیری علوم در یونان باستان، همه علوم با فلسفه ارتباطی داشتند. همین طور ریشه همه علوم به ریاضیات وابسته است.

 

پرسش: کنکور با توجه به تعداد بالای متقاضیان کنکور، به شکل دیگری ممکن است؟

پاسخ:کنکور باید مانند سال های قبل سوال و جوابی باشد. یعنی روشی که تا پیش از تست در ایران، رایج بود. این روش کمک می کند که جوان ایارنی همه چیز را به صورت تحلیلی و مفهومی یاد بگیرد. این روش البته دشوار تر است اما اساسی تر و علمی تر است. با این روش کسانی وارد دانشگاه می شوند که واقعا با مفاهیم سر و کار دارند و می دانند که از رشته تحصیلی خود چه می خواهند. من اساسا با کنکور مخالف هستم چون دانشجو و دانش آموز را تنبل و آسان خوان بار می آورد. بچه ها درست در سنینی که باید و مایلند که درس بخوانند و با دروس و علوم به صورت مفهومی کار کنند، ما به وسیله کنکور به آنها می فهمانیم که نیازی نیست، به صورت عمیق، تحلیلی و مفهومی علوم را یاد بگیری. ما با کنکور به آنها می فهمانیم که یکسری فاکتور ها را حفظ کن و قبول شو. این روش روش غلطی است. اتفاقا بر خلاف نظریاتی که امروزه در سطح مدارس و دانشگاه ها رایج است، ریاضیات علمی است که حتما باید آن را به صورت مفهومی یاد گرفت. من از دانشگاهیان امروز می پرسم که جای درس یا واحد درسی «تاریخ ریاضیات» کجا است؟ آنها می گویند که باید در تاریخ عمومی این درس را خواند. البته در تاریخ عمومی هم واحد درسی به اسم تاریخ ریاضیات وجود ندارد. فقط اخیرا شنیده ام که در دانشگاه صنعتی شریف، در واحدهای درسی کوچکی به این درس پرداخته می شود. در حالی که دانشجو تا تاریخ ریاضیات و ارتباط ریاضیات با فلسفه را نداند، اصلا ریاضیات را به صورت عمیق و مفهومی نمی فهمد.

 

پرسش :بنا بر این شما هم معتقدید که باید در رشته تحصیلی ریاضیات، دروس فلسفه هم باشد؟

پاسخ:بله. ولی متاسفانه اینطور نیست و به فلسفه اهمیت داده نمی شود در حالی که اصلا در یونان باستان که مهد فلسفه است، فیلسوفان حتی پیش از سقراط و ارسو، با ریاضیات سر کار داشتند. ریاضیات پایه همه علوم است من جمله فلسفه. بخصوص در دو قرن اخیر که فلسفه بر اساس استدلال های علمی و از جمله ریاضیات، پایه ریزی شده. به همین مناسبت نمی شود فلسفه آموخت بی آنکه ریاضیات را آموخت و نمی شود ریاضیات یاد گرفت بی آنکه فلسفه را آموخت.

 

پرسش:شما به عنوان پیشکسوت این علم، بارها این نکته را در سخنرانی ها و محافل، اعلام کرده اید اما متاسفانه توجهی نشده است. علت این بی توجهی را چه می دانید؟

:پاسخنمی دانم. اما قطعا به این مسئله باز می گردد که مسئولان به اصلاح سیستم آموزشی و بهبود سطح علمی جوانان بی علاقه هستند. در ضمن آنها اصولا علاقه ای به تغییرات ندارند. همان سیستمی که چند دهه است انجام می دهند و ادامه می دهند و بهانه شان هم این است که سالانه ده ها هزار نفر متقاضی کنکور هستند و سیستم سوال و جواب، به جای تست نمی تواند پاسخگوی این همه متقاضی باشد. اما سوال من این است که آیا این استدلال به بهای این که سطح علمی جوانان ایران و در نتیجه سطح علمی کشور، هر سال پایین تر و پایین تر شود، می ارزد؟

 

نگاهی اجمالی به رمز نگاری

مقدمه و تاریخچه

هر کدام از ما وقتی به دنیای ماموران مخفی و جاسوسان فکر می کنیم چیز های زیادی به ذهنمان می رسد: سفرهای خارجی، ماموریت های خطرناک، اسلحه های عجیب و ماشین های سریع. کمتر کسی در کنار این چیزها به ریاضیات فکر می کند. اما باید بدانیم ریاضیات در فهمیدن پیامهای سری و شکستن رمزها نقش اساسی بازی می کند و در طول تاریخ ریاضیدان ها نتیجه نبردهای فراوانی را با شکستن رمزها تغییر داده اند.
نمیدانم فیلم "ذهن زیبا" را دیده اید یا نه؟ این فیلم که زندگی واقعی یک ریاضیدان به نام جان نش را به تصویر می کشد
این ریاضیدان ابتدا برای شکستن کدها ی سری به استخدام سازمان سیا در می آید . ولی پس از مدتی به بیماری شیزوفرنی دچار میشود. ولی پس از مدتها بیماری دوباره به صحنه علم برمیگردد و جایزه نوبل اقتصاد را دریافت میکند.
همین چند خط در مورد این ریاضیدان کاربردهای وسیع این علم در علوم مختلف از جمله در زمینه کشف کدها و رمزها آشکار میکند.
امروزه در کشور ما نیز دوره دکترای رمزنگاری که از شاخه های رشته ریاضی کاربردی میباشد برگزار میشود.

شروع و توسعه رمزنگاری

اولین بار سزار امپراتور رم باستان برای آنکه بتواند بدون اطلاع دشمن با ا ارتشش در سراسر دنیا در ارتباط باشد نوعی رمز را بکار گرفت. این رمز به این شکل بود که برای فرستادن یک پیام جای هر حرف را با سومین حرف بعد از آن در الفبا عوض می کردند، مثلا به جای 'A' حرف 'D' و به جای 'X' حرف 'A' را می گذاشتند.

بنابراین برای از کد خارج کردن پیام ها کافی بود دریافت کننده جای هر حرف را با سومین حرف بعد از آن در الفبا عوض کند. مثلا سعی کنید این پیغام سزاری را از رمز خارج کنید:

hqhpb dssurdfklqj
wkluwb ghdg
uhwuhdw wr iruhvw

خب، ممکن است بپرسید چه ریاضیاتی در کار است. ریاضی وقتی وارد ماجرا می شود که به هر حرف یک عدد نسبت دهیم. در این صورت فرایند کد کردن مثل اضافه کردن عدد 3 به عدد اولیه خواهد بود

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

مثلا برای به رمز درآوردن 'A' : داریم 0+3=3
برای اینکه در مورد حرف های نزدیک به پایان الفبا دچار مشکل نشویم بهتر است به جای جمع معمولی از جمع به پیمانه 26 استفاده کنیم، یعنی به جای هر عدد از باقیمانده تقسیم آن عدد بر 26 استفاده کنیم.

مثلا برای 'X' داریم: (به پیمانه 26) 23+3=26=0

 

مثلا برای 'Y' داریم: (به پیمانه 26) 24+3=27=1

 

مثلا برای 'T' داریم: (به پیمانه 26) 19+3=21=21

برای از رمز درآوردن هم می توانیم از تفریق به پیمانه 26 استفاده کنیم. واضح است که می توانیم به جای انتقال 3 تایی از هر انتقالی بین 1 و 25 استفاده کنیم، اما همانطور که احتمالا حدس زده اید شکستن این رمز خیلی ساده است یعنی یک جاسوس می تواند با امتحان کردن همه 25 انتقال ممکن به سرعت رمز را بشکند.

با روشی که توضیح دادیم این نوشته را از رمز در آورید: RFYM KTW FQQ

حالا به سراغ یک روش پیچیده تر می رویم. فرض کنید به ازای هر حرف الفبا یک علامت جایگزین کنیم، مثلا '*' به جای 'A' و '+' به جای 'B'. مثل رمزی که ماری ملکه اسکاتلند برای مکاتباتش بر علیه الیزابت اول ملکه انگلیس بکار می گرفت .
تا مدت ها مردم فکر می کردند شکستن این رمز ناممکن است تا اینکه سرو کله آمار ریاضی پیدا شد

نموداری که می بینید فراوانی حروف الفبا را در زبان انگلیسی نشان میدهد.

این اطلاعات از شمارش حروف مختلف در حجم زیادی از نوشته ها مثل کتاب ها و روزنامه ها بدست آمده است. این نمودار مثلا نشان می دهد به طور میانگین 13.5 درصد از حروف بکار رفته در متن های انگلیسی E هستند، که فراوان ترین حرف الفبا است. بنابراین وقتی رمزی از نوع بالا داریم احتمالا علامتی که بیش از همه تکرار می شود علامت متناظر E است و فراوانترین علامت بعد از آن متناظر 'T' است. سرنخ های دیگری هم وجود دارد مثلا تنها دو کلمه یک حرفی در انگلیسی وجود دارد: 'I' و 'A' و همچنین 'AND' و 'THE' کلمات خیلی معمولی هستند با کمک این سرنخ ها و کمی آزمایش و خطا میتوان اینگونه رمزها را شکست.همین روش باعث شد که ماری سرش را از دست بدهد.

 

 معرفی و اصطلاحات رمز نگاری از زاویه دیگر

رمزنگاری علم کدها و رمزهاست. یک هنر قدیمی است و برای قرنها بمنظور محافظت از پیغامهایی که بین فرماندهان، جاسوسان،‌ عشاق و دیگران ردوبدل می‌شده، استفاده شده است تا پیغامهای آنها محرمانه بماند.

هنگامی که با امنیت دیتا سروکار داریم، نیاز به اثبات هویت فرستنده و گیرنده پیغام داریم و در ضمن باید از عدم تغییر محتوای پیغام مطمئن شویم. این سه موضوع یعنی محرمانگی، تصدیق هویت و جامعیت در قلب امنیت ارتباطات دیتای مدرن قرار دارند و می‌توانند از رمزنگاری استفاده کنند.

اغلب این مساله باید تضمین شود که یک پیغام فقط میتواند توسط کسانی خوانده شود که پیغام برای آنها ارسال شده است و دیگران این اجازه را ندارند. روشی که تامین کننده این مساله باشد "رمزنگاری" نام دارد. رمزنگاری هنر نوشتن بصورت رمز است بطوریکه هیچکس بغیر از دریافت کننده موردنظر نتواند محتوای پیغام را بخواند.

رمزنگاری مخفف‌ها و اصطلاحات مخصوص به خود را دارد. برای درک عمیق‌تر به مقداری از دانش ریاضیات نیاز است. برای محافظت از دیتای اصلی ( که بعنوان plaintext شناخته می‌شود)، آنرا با استفاده از یک کلید (رشته‌ای محدود از بیتها) بصورت رمز در می‌آوریم تا کسی که دیتای حاصله را می‌خواند قادر به درک آن نباشد. دیتای رمزشده (که بعنوان ciphertext شناخته می‌شود) بصورت یک سری بی‌معنی از بیتها بدون داشتن رابطه مشخصی با دیتای اصلی بنظر می‌رسد. برای حصول متن اولیه دریافت‌کننده آنرا رمزگشایی می‌کند. یک شخص ثالت (مثلا یک هکر) می‌تواند برای اینکه بدون دانستن کلید به دیتای اصلی دست یابد، کشف رمز‌نوشته (cryptanalysis) کند. بخاطرداشتن وجود این شخص ثالث بسیار مهم است.

رمزنگاری دو جزء اصلی دارد، یک الگوریتم و یک کلید. الگوریتم یک مبدل یا فرمول ریاضی است. تعداد کمی الگوریتم قدرتمند وجود دارد که بیشتر آنها بعنوان استانداردها یا مقالات ریاضی منتشر شده‌اند. کلید، یک رشته از ارقام دودویی (صفر و یک) است که بخودی‌خود بی‌معنی است. رمزنگاری مدرن فرض می‌کند که الگوریتم شناخته شده است یا می‌تواند کشف شود. کلید است که باید مخفی نگاه داشته شود و کلید است که در هر مرحله پیاده‌سازی تغییر می‌کند. رمزگشایی ممکن است از همان جفت الگوریتم و کلید یا جفت متفاوتی استفاده کند.

دیتای اولیه اغلب قبل از رمزشدن بازچینی می‌شود؛  این عمل عموما بعنوان scrambling شناخته می‌شود. بصورت مشخص‌تر، hash functionها بلوکی از دیتا را (که می‌تواند هر اندازه‌ای داشته باشد) به طول از پیش مشخص‌شده کاهش می‌دهد. البته دیتای اولیه نمی‌تواند از hashed value بازسازی شود. Hash functionها اغلب بعنوان بخشی از یک سیستم تایید هویت مورد نیاز هستند؛ خلاصه‌ای از پیام (شامل مهم‌ترین قسمتها مانند شماره پیام، تاریخ و ساعت، و نواحی مهم دیتا) قبل از رمزنگاری خود پیام، ساخته ‌و hash می‌شود.

یک چک تایید پیام (Message Authentication Check) یا MAC یک الگوریتم ثابت با تولید یک امضاء برروی پیام با استفاده از یک کلید متقارن است. هدف آن نشان دادن این مطلب است که پیام بین ارسال و دریافت تغییر نکرده است. هنگامی که رمزنگاری توسط کلید عمومی برای تایید هویت فرستنده پیام استفاده می‌شود، منجر به ایجاد امضای دیجیتال (digital signature) می‌شود.

 

۲- الگوریتم‌ها

طراحی الگوریتمهای رمزنگاری مقوله‌ای برای متخصصان ریاضی است. طراحان سیستمهایی که در آنها از رمزنگاری استفاده می‌شود، باید از نقاط قوت و ضعف الگوریتمهای موجود مطلع باشند و برای تعیین الگوریتم مناسب قدرت تصمیم‌گیری داشته باشند. اگرچه رمزنگاری از اولین کارهای شانون (Shannon) در اواخر دهه ۴۰ و اوایل دهه ۵۰ بشدت پیشرفت کرده است، اما کشف رمز نیز پابه‌پای رمزنگاری به پیش آمده است و الگوریتمهای کمی هنوز با گذشت زمان ارزش خود را حفظ کرده‌اند. بنابراین تعداد الگوریتمهای استفاده شده در سیستمهای کامپیوتری عملی و در سیستمهای برپایه کارت هوشمند بسیار کم است.

 

۱-۲ سیستمهای کلید متقارن

یک الگوریتم متقارن از یک کلید برای رمزنگاری و رمزگشایی استفاده می‌کند. بیشترین شکل استفاده از رمزنگاری که در کارتهای هوشمند و البته در بیشتر سیستمهای امنیت اطلاعات وجود دارد data encryption algorithm یا DEA  است که بیشتر بعنوان DES‌ شناخته می‌شود. DES یک محصول دولت ایالات متحده است که امروزه بطور وسیعی بعنوان یک استاندارد بین‌المللی شناخته ‌می‌شود. بلوکهای ۶۴بیتی دیتا توسط یک کلید تنها که معمولا ۵۶بیت طول دارد، رمزنگاری و رمزگشایی می‌شوند. DES‌ از نظر محاسباتی ساده است و براحتی می‌تواند توسط پردازنده‌های کند (بخصوص آنهایی که در کارتهای هوشمند وجود دارند) انجام گیرد.

این روش بستگی به مخفی‌بودن کلید دارد. بنابراین برای استفاده در دو موقعیت مناسب است: هنگامی که کلیدها می‌توانند به یک روش قابل اعتماد و امن توزیع و ذخیره شوند یا جایی که کلید بین دو سیستم مبادله می‌شوند که قبلا هویت یکدیگر را تایید کرده‌اند عمر کلیدها بیشتر از مدت تراکنش طول نمی‌کشد. رمزنگاری DES عموما برای حفاظت دیتا از شنود در طول انتقال استفاده می‌شود.

کلیدهای DES ۴۰بیتی امروزه در عرض چندین ساعت توسط کامپیوترهای معمولی شکسته می‌شوند و بنابراین نباید برای محافظت از اطلاعات مهم و با مدت طولانی اعتبار استفاده شود. کلید ۵۶بیتی عموما توسط سخت‌افزار یا شبکه‌های بخصوصی شکسته می‌شوند. رمزنگاری DESسه‌تایی عبارتست از کدکردن دیتای اصلی با استفاده از الگوریتم DES‌ که در سه مرتبه انجام می‌گیرد. (دو مرتبه با استفاده از یک کلید به سمت جلو (رمزنگاری)  و یک مرتبه به سمت عقب (رمزگشایی) با یک کلید دیگر) مطابق شکل زیر:

 

 این عمل تاثیر دوبرابر کردن طول مؤثر کلید را دارد؛ بعدا خواهیم دید که این یک عامل مهم در قدرت رمزکنندگی است.

الگوریتمهای استاندارد جدیدتر مختلفی پیشنهاد شده‌اند. الگوریتمهایی مانند Blowfish و IDEA برای زمانی مورد استفاده قرار گرفته‌اند اما هیچکدام پیاده‌سازی سخت‌افزاری نشدند بنابراین بعنوان رقیبی برای DES  برای استفاده در کاربردهای میکروکنترلی مطرح نبوده‌اند. پروژه استاندارد رمزنگاری پیشرفته دولتی ایالات متحده (AES) الگوریتم Rijndael را برای جایگزیتی DES بعنوان الگوریتم رمزنگاری اولیه انتخاب کرده است. الگوریتم Twofish مشخصا برای پیاده‌سازی در پردازنده‌های توان‌ـ‌پایین مثلا در کارتهای هوشمند طراحی شد.

در ۱۹۹۸ وزارت دفاع ایالات متحده تصمیم گرفت که الگوریتمها Skipjack و مبادله کلید را که در کارتهای Fortezza استفاده شده بود، از محرمانگی خارج سازد. یکی از دلایل این امر تشویق برای پیاده‌سازی بیشتر کارتهای هوشمند برپایه این الگوریتمها بود.

برای رمزنگاری جریانی (streaming encryption) (که رمزنگاری دیتا در حین ارسال صورت می‌گیرد بجای اینکه دیتای کدشده در یک فایل مجزا قرار گیرد) الگوریتم RC4‌ سرعت بالا و دامنه‌ای از طول کلیدها از ۴۰ تا ۲۵۶ بیت فراهم می‌کند. RC4 که متعلق به امنیت دیتای RSA‌ است، بصورت عادی برای رمزنگاری ارتباطات دوطرفه امن در اینترنت استفاده می‌شود.

 

۲-۲ سیستمهای کلید نامتقارن

سیستمهای کلید نامتقارن از کلید مختلفی برای رمزنگاری و رمزگشایی استفاده می‌کنند. بسیاری از سیستمها اجازه می‌دهند که یک جزء (کلید عمومی یا public key) منتشر شود در حالیکه دیگری (کلید اختصاصی یا private key) توسط صاحبش حفظ شود. فرستنده پیام، متن را با کلید عمومی گیرنده کد می‌کند و گیرنده آن را با کلید اختصاصی خودش رمزنگاری میکند. بعبارتی تنها با کلید اختصاصی گیرنده می‌توان متن کد شده را به متن اولیه صحیح تبدیل کرد. یعنی حتی فرستنده نیز اگرچه از محتوای اصلی پیام مطلع است اما نمی‌تواند از متن کدشده به متن اصلی دست یابد، بنابراین پیام کدشده برای هرگیرنده‌ای بجز گیرنده مورد نظر فرستنده بی‌معنی خواهد بود. معمولترین سیستم نامتقارن بعنوان RSA‌ شناخته می‌شود (حروف اول پدیدآورندگان آن یعنی Rivest ، Shamir و Adlemen است). اگرچه چندین طرح دیگر وجود دارند. می‌توان از یک سیستم نامتقارن برای نشاندادن اینکه فرستنده پیام همان شخصی است که ادعا می‌کند استفاده کرد که این عمل اصطلاحا امضاء نام دارد.  RSA شامل دو تبدیل است که هرکدام احتیاج به بتوان‌رسانی ماجولار با توانهای خیلی طولانی دارد:

·         امضاء، متن اصلی را با استفاده از کلید اختصاصی رمز می‌کند؛

·         رمزگشایی عملیات مشابه‌ای روی متن رمزشده اما با استفاده از کلید عمومی است. برای تایید امضاء بررسی می‌کنیم که آیا این نتیجه با دیتای اولیه یکسان است؛ اگر اینگونه است، امضاء توسط کلید اختصاصی متناظر رمزشده است.

به بیان ساده‌تر چنانچه متنی از شخصی برای دیگران منتشر شود، این متن شامل متن اصلی و همان متن اما رمز شده توسط کلید اختصاصی همان شخص است. حال اگر متن رمزشده توسط کلید عمومی آن شخص که شما از آن مطلعید رمزگشایی شود، مطابقت متن حاصل و متن اصلی نشاندهنده صحت فرد فرستنده آن است، به این ترتیب امضای فرد تصدیق می‌شود. افرادی که از کلید اختصاصی این فرد اطلاع ندارند قادر به ایجاد متن رمز‌شده‌ نیستند بطوریکه با رمزگشایی توسط کلید عمومی این فرد به متن اولیه تبدیل شود.

اساس سیستم RSA  این فرمول است: X = Y^k (mod r)

که X متن کد شده، Y متن اصلی، k کلید اختصاصی و r حاصلضرب دو عدد اولیه بزرگ است که با دقت انتخاب شده‌اند. برای اطلاع از جزئیات بیشتر می‌توان به مراجعی که در این زمینه وجود دارد رجوع کرد. این شکل محاسبات روی پردازنده‌های بایتی بخصوص روی ۸ بیتی‌ها که در کارتهای هوشمند استفاده می‌شود بسیار کند است. بنابراین، اگرچه RSA هم تصدیق هویت و هم رمزنگاری را ممکن می‌سازد، در اصل برای تایید هویت منبع پیام از این الگوریتم در کارتهای هوشمند استفاده می‌شود و برای نشاندادن عدم تغییر پیام در طول ارسال و رمزنگاری کلیدهای آتی استفاده می‌شود. 

سایر سیستمهای کلید نامتقارن شامل سیستمهای لگاریتم گسسته می‌شوند مانند Diffie-Hellman، ElGamal و سایر طرحهای چندجمله‌ای و منحنی‌های بیضوی. بسیاری از این طرحها عملکردهای یک‌ـ‌طرفه‌ای دارند که اجازه تاییدهویت را می‌دهند اما رمزنگاری ندارند. یک رقیب جدیدتر الگوریتم RPK‌ است که از یک تولیدکننده مرکب برای تنظیم ترکیبی از کلیدها با مشخصات مورد نیاز استفاده می‌کند. RPK یک پروسه دو مرحله‌ای است: بعد از فاز آماده‌سازی در رمزنگاری و رمزگشایی (برای یک طرح کلید عمومی) رشته‌هایی از دیتا بطور استثنایی کاراست و می‌تواند براحتی در سخت‌افزارهای رایج پیاده‌سازی شود. بنابراین بخوبی با رمزنگاری و تصدیق‌هویت در ارتباطات سازگار است.

طولهای کلیدها برای این طرحهای جایگزین بسیار کوتاهتر از کلیدهای مورد استفاده در RSA‌ است که آنها برای استفاده در چیپ‌کارتها مناسب‌تر است. اما ‌RSA‌ محکی برای ارزیابی سایر الگوریتمها باقی مانده است؛ حضور و بقای نزدیک به سه‌دهه از این الگوریتم، تضمینی در برابر ضعفهای عمده بشمار می‌رود.

منابع

• ریاضیات گسسته، تالیف مگردیچ تومانیان
• آشنایی با رمزگشایی به روش ریاضی، آبراهام سینکوف
• سایت تبیان

گرایش های رشته ریاضی در کارشناسی ارشد و بالاتر

ریاضی محض دارای شاخه های زیر می باشد:  

۱-آنالیز زیاضی : این رشته خود دارای زیر مجموعه هایی چون آنالیز تابعی و آنالیز مختلط و آنالیز هارمونیک می باشد و بیشتر عنوان تز دانشجو مشخص کننده  رشته تخصصی دانشجوست. مقطع کارشناسی ارشد این رشته در اکثر دانشگاههای کشور که دانشجوی ارشد ریاضی دارند تدریس می شود. از دانشگاههای پیش کسوت در این رشته می توان دانشگاه شیراز و اصفهان و تربیت معلم تهران وشهید باهنر کرمان و فردوسی مشهد و ...که از  حدود ۱۵ سال پیش مقطع دکتری داشته اند را نام برد.

از بزرگان این رشته در ایران می توانیم مرحوم پروفسور غلامحسین مصاحب و مرحوم پروفسور کریم صدیقی و پروفسور رجبعلی پور و اسدا.. نیکنام و زعفرانی و یوسفی و... را نام ببریم.

۲-جبر:این رشته نیز دارای گرایشهایی چون نظریه گروهها و نظریه حلقه ها و مدولها و...می باشد.مقطع کارشناسی ارشد این رشته در اکثر دانشگاههای کشور که دانشجوی ارشد ریاضی دارند تدریس می شود. از دانشگاههای پیش کسوت در این رشته می توان دانشگاه تهران و صنعتی شریف و صنعتی اصفهان و شیراز و شهید چمران اهواز  و اصفهان و تربیت معلم تهران و شهید باهنر کرمان و فردوسی مشهد و یزد و... را نام برد.  

از بزرگان این رشته می توان به پروفسور محمد رضا درفشه و پروفسور کرم زاده و پروفسور احمد حقانی و پروفسور شریف و  ذاکری و... اشاره  کرد.

۳-هندسه: این رشته خود دارای زیر مجموعه هایی چون هندسه دیفرانسیل و هندسه جبری و هندسه منیفلد و ...می باشد. صاحب نظر و متخصص در این گرایش در ایران کم می باشد. از دانشگاههای دارای این رشته می توان دانشگاه تبریز و تهران و صنعتی امیر کبیر را نام برد. از صاحب نام جوان ایرانی در  این رشته می توان خانم دکتر مریم میرزاخانی را نام برد.

۴- توپولوژی: این رشته نیز دارای زیر مجموعه هایی چون توپولوژی دیفرانسیل و توپولوژی جبری و ... می باشد. از دانشگاههای دارای این رشته می توان به دانشگاه تبریز و تهران و چمران اهواز و اصفهان اشاره کرد. از بزرگان این رشته می توان آقای پروفسور مگردیچ تومانیان را نام برد.

۵- منطق و فلسفه ریاضی: این رشته در ایران جایگاه مناسبی ندارد و از دانشگاههایی که می توان در آن کارشناسی ارشد (و نه دکترا) در این گرایش گرفت دانشگاه صنعتی اصفهان و تهران می باشد. آقای پروفسور محمود بینای مطلق از بزرگان این رشته محسوب می شوند. 

۶-نظریه اعداد : متخصص در این گرایش نیر در ایران کم می باشد و در دانشگاهی چون صنعتی شریف و تهران می توان کارشناسی ارشد این گرایش را اخذ کرد. با اطلاعات حقیر در مقطع دکتری دانشگاهی در داخل وجود ندارد. 

 

ریاضی کاربردی 

دارای گرایشهای زیر می باشد:

۱-آنالیز عددی: از دانشگاههای صاحب نام و دارای متخصص پیش کسوت در این رشته می توان دانشگاه تربیت معلم تهران و یزد و سیستان و بلوچستان و تربیت مدرس ...را نام برد. از پیش کسوت در این رشته می توان پروفسور اسماعیل بابلیان و پروفسور مهدی کرباسی و ...را نام برد.

۲- تحقیق در عملیات: از دابشگاههای صاحب نام در این رشته می توان دانشگاه تهران و تربیت معلم  را نام برد. متخصص در این رشته در ایران زیاد نمی باشد. از صاحب نظران این رشته آقای دکتر جهانشاهلو را می توان نام برد.

۳-نظریه گراف و ترکیبیات: لازم به ذکر است که این گرایش در اغلب کشورهای خارجی زیر مجموعه ریاضی محض محسوب می شود. در این گرایش دانشگاه صنعتی شریف و شهید بهشتی دارای مقطع دکتری هستند و با تربیت دانشجویان زبده  در این مقطع دانشگاههایی چون صنعتی امیرکبیر و مرکز تحقیقات علوم پایه زتجان این گرایش را تدریس می نمایند. از بزرگان این رشته می توان پروفسور مهدی بهزاد و پروفسور عبادا... محمودیان را نام برد. متخصص در این رشته نیز در ایران کم می باشد.

۴-معادلات دیفرانسیل: از دانشگاههای دارای این گرایش در مقطع دکتری می توان دانشگاه علم و صنعت ایران و صنعتی شریف و تهران را نام برد. دانشگاههایی نظیر شیراز و یزد و تبریز در مقطع ارشد این گرایش را دارند.

 ۵-نظریه رمز و کریپتوگرافی: متخصص در این رشته بسیار کم است و از دانشگاههایی که در مقطع ارشد این رشته را دارند دانشگاه صنعتی شریف می باشد.

۶- ریاضیات مالی: تحقیق و تدریس در این رشته در ایران کم می باشد. اما مطمئنا در آینده جز رشته های پرطرفدار محسوب خواهد گردید.

۷- ریاضیات صنعتی:همانگونه که از نام این رشته پیداست کاربرد ریاضی در علوم فنی بررسی می شود. در ایران مقطع دکتری این رشته وحود ندارد اما دوره ارشد تدریس می شود. 

۸-بهینه سازی: متخصص در این رشته کم است و از دانشگاههای دارای دکتری در این رشته دانشگاه فردوسی مشهد می باشد و دکتر وحیدیان کامیاد از سرآمدان این رشته است.     

 

قرارداد جمع

قرار داد جمع اینیشتین چیست؟

بر طبق اين قرارداد نماد سيگما (علامت جمع در رياضيات) براي شاخص هاي تكراري كه تلويحاً عمل جمع زني روي آنها انجام مي شود، حذف مي شود. اين قرار داد به صورت جالب توجهي از حجم معادلات شامل تانسورها كاسته و آنها را ساده و كوتاه مي كند. براي مثال با استفاده از اين قرار داد داريم

                          

و

                      

اين قرارداد اولين بار توسط اينيشتين معرفي شد (1916, sec. 5). او من باب شوخي به يكي از دوستانش گفت: "من كشف بزرگي را در رياضيات انجام دادم؛ من هميشه از نوشتن نماد جمع خودداري مي كردم، چون نماد جمع  همواره بايستي دوباره براي شاخصي كه تكرار مي شد ابقا شود..."

تانسورها

 

هر تانسور از مرتبه ی n در فضایی m- بعدی، ساختاری ریاضیاتی است که n شاخص و  مولفه دارد که از قوانین تبدیلات مختصاتی پیروی می کند.

هر شاخص تانسور، فقط مقادیری در محدوده ی تعداد بعدهای فضای تعریفی اختیار می کند. با این حال دخالت ابعاد فضایی تا حدود زیادی در معادلات تانسوری نامربوط به نظر می رسد. تانسورها نوع عمومی تر اسکالرها ( که فاقد شاخص هستند) ،بردارها (که تنها دارای یک شاخص اند) و نیز متریک ها (که فقط دو شاخص دارند) می باشند که می توانند تعداد دلخواه شاخص اختیار کنند.

تانسورها بستر ریاضی مناسب و ساده ای را جهت فرمولبندی و حل مسائل متعدد در سیطره ی مباحث گوناگون فیزیک نظیر مکانیک سیالات و نسبیت عام فراهم می کنند.

نمادگذاری هر تانسور عیناْ شبیه به یک ماتریس است، (مثل )، به جز اینکه یک تانسور مثلا ، ،  قدرت انتخاب هر تعداد شاخص دلخواه را شامل هستند. بعلاوه، یک تانسور از مرتبه ی ،از نوع مختلط ـ شاخص یا به اصطلاح "مختلط" ، تلفیقی از  شاخص بالا یا "پادوردا (contravariant)" و  شاخص پایین "هم وردا (covariant)" می باشد. دقت کنید که مکان شاخص های پادوردا و هم وردا با یکدیگر فرق دارد که کوچکترین تفاوت میان جایدهی شاخص ها در یک تانسور چه در ترتیب و چه در بالا یا پایین بردن شاخص ها، منجر به ایجاد تانسور جدید و یا تغییر ساختمان ریاضی آن می گردد. برای مثال تانسور  متمایز از شکل  است.

هنگامی که تانسور نسبت به تفاوت شاخص های پادوردا و هم وردا حساس باشد، تانسور حاصل از نوع عمومی خواهد بود. (در بحث ماتریس ها، یک ماتریس عمومی از جمع دو ماتریس پادمتقارن و متقارن به وجود می آمد که در اینجا نیز همین حالت برای تانسورها برقرار است). عدم تفاوت میان شاخص های هم وردا و پادوردا بیشتر در تانسورهای موردبحث در فضای اقلیدسی مانند تانسورهای دکارتی (Cartesian tensors) مطرح است.

تانسورهای تبدیل شونده از مرتبه ی صفر، اسکالر (scalars) نامیده می شوند که همانند تانسورهای مرتبه ی ۱ یعنی بردارها (vectors) تبدیل می شوند. در نمادنویسی تانسوری، هر بردار  به شکل  نوشته می شود. به طوریکه i=1,...,m و ماتریس متناظر با آن گویای تانسوری از مرتبه ی (۱,۱) است که آن را به فرم  می نویسیم.

می توان عملیات جبری و دیفرانسیل را بر روی تانسورها انجام داد (مانند تانسورهای متریک (metric tensors) و تانسور جایگشت (permutation tensor) یا نماد دلتای کرونکر) که قابلیت تعریف پذیری عملگرهای تانسوری را دارا هستند. [مانند مشتق هم وردا (semicolon derivatives)]. با جابجایی شاخص های هم وردا و پادوردا می توان به عبارات و تانسورهای ساده تری دست یافت که این کار شامل بالابردن (index raising) یا پایین آوردن شاخص ها (index lowering) یا به عبارت کلی بالانس شاخص ها ( index gymnastics) می باشد که آن ها را می توان با ضرب در تانسور متریک، ، ،  و ... به دست آورد.

بالانس شاخص ها در دو حالت هم وردا و پادوردا به کمک تانسور متریک:

                         

                        

 (Arfken 1985, p. 159).     

نمادنویسی تانسوری می تواند یک راه موجز و کوتاه را جهت نوشتن بردارها و اتحادهای عمومی دیگر فراهم کند. به عنوان مثال، در نمادنویسی تانسوری، حاصلضرب نقطه ای (dot product)  به واسطه رابطه ی زیر بسیار خلاصه می گردد

                       

که در اینجا برای ساده شدن عبارت تحت جمع زنی نسبت به همه ی شاخص ها، قرارداد جمع اینیشتین را بکار برده ایم. به طور مشابه، می توانیم حاصلضرب خارجی (cross product) را به صورتی مختصر بدین گونه بنویسیم

                              

که  تانسور لوی - سیویتا یا تانسور جایگشت (permutation tensor) می باشد.

تانسورهای پادوردای (Contravariant) مرتبه ی دوم، ساختارهای ریاضیاتی هستند که به شکل زیر تبدیل می شوند

                    

به همین شکل تانسورهای هم وردای (Covariant) نیز به صورت زیر تبدیل می شوند

                     

تانسورهای موسوم به مختلط ـ شاخص (Mixed) از مرتبه دو نیز به شکل زیر تبدیل می یابند

                   

چنانچه دو تانسور A و B و هر دو نه لزوماْ از مرتبه ی ۲ داشته باشیم، جمع آنها در قالب حالت های زیر انجام می گیرد

                        

                        

                      

تعمیم حاصلضرب نقطه ای (داخلی) را می توان در قاعده ای موسوم به تنجش تانسور (tensor contraction) بکار گرفت، به صورتی که دو شاخص یکسان یکی هم وردا و دیگری پادوردا در یک تانسور مورد استفاده قرار گیرند. برای تانسورها، می توان انواع مختلفی از مشتق ها را تعریف کرد. اما پرکاربردترین آن ها به دو مورد مشتق معمولی (comma derivative) (مشتقی که در آنالیز تانسوری به صورت یک کاما در کنار آخرین شاخص هم وردا، آنرا نشان می دهند) و همچنین مشتق هم وردا (covariant derivative) ختم می شوند.

اگر هریک از مولفه های یک تانسور از مرتبه ی دلخواه، در یکی از دستگاه های مختصاتی صفر شوند، در  دیگر دستگاه های مختصات نیز حتماْ صفر خواهند بود. لازم به ذکر است تبدیل متغیرهای یک تانسور، آنرا به تانسور دیگری تبدیل می کنند که مولفه هایش، توابع همگن خطی از مولفه های تانسور اولیه هستند.

فضای تانسوری از نوع می تواند به کمک حاصلضرب تانسوری فضای برداری (vector space tensor product) بین  میدان برداری (vector fields) و  میدان برداری دوگان نظیر یک شکلی ها (one-forms) نوشته شود. برای مثال

                   

برابر با کلاف برداری  - تانسوری بر روی خمینه ی (manifold)  بوده که  کلاف مماس  و  دوگان آن می باشد. تانسورهای نوع  یک فضای برداری (vector space) را تشکیل می دهند. این توصیف به نوع تانسور دیگر نیز تعمیم پیدا می کند و نگاشت خطی وارون پذیر (invertible linear map)  نگاشت  را القاء می کند، فضای برداری دوگان (dual vector space) و  ژاکوبی (Jacobian) است، که به شکل ذیل تعریف می شود

                 

که نگاشت قلاب (pullback map) و ژاکوبی  است که با جابجایی ژاکوبی به طرف دیگر معادله حاصل شده است. این تعریف میتواند به دیگر ضرب های تانسوری (tensor products)  و  بسط داده شود. هنگامی که یک تبدیل مختصات انجام می دهیم، متعاقباْ تانسورها نیز به کمک ژاکوبی  (محصول تبدیل خطی تانسورها) تبدیل خواهند شد.

تانسور آفینی (Affine tensor)

تانسور آفینی (مستوی)، تانسوری متناظر با تبدیلات مختصات خطی است،، که در آن دترمینان  مخالف با صفر است. این تبدیل از دستگاه مختصات راست گوشه به دستگاه مختصات دارای محورهای مایل (oblique axes) صورت می پذیرد. در این روش تانسور آفینی می تواند در قالب یک تانسور دکارتی (*) ظاهر شود.

این تانسورها دارای ژاکوبی های زیر هستند:

                                          

                                                 

                                      

                                                

قوانین تبدیل تانسورهای (مماس) پادوردای آفینی عبارت اند از

                                           

                                       

                                    

و به همین ترتیب ادامه می یابد. قوانین تبدیل تانسورهای (هم بردار) هموردای آفینی نیز عبارت اند از

                                            

                                   

                                   

و همین روال ادامه خواهد یافت.

قوانین تبدیل تانسورهای مختلط ـ شاخص آفینی نیز به صورت زیر هستند:

                                       

                                  

(*) تانسور دکارتی: تانسوری در فضای ۳ بعدی اقلیدسی است. برعکس تانسورهای عمومی، هیچ تمایزی میان شاخص های هموردا و پادوردای تانسورهای دکارتی وجود ندارد. با این حال در فضاهای نااقلیدسی (مانند فضاهای لورنتزی)، تانسورها به این تمایز نیازمندند.

تانسور ریمان

تانسور ریمان (Riemann tensor)  كه همچنين با نام تانسور انحناي ريمان - كريستوفل يا تانسور انحناي ريمان نيز مشهور است، يك تانسور 4 شاخصي بسيار مهم و كاربردي در نسبيت عام است. ديگر تانسورهاي نسبيتي مفيد مانند تانسور انحناي ريچي (Ricci curvature tensor) و تانسور انحناي اسكالر نيز از تانسور  نشئت مي گيرند:

                    

كه در آن  ضرايب ارتباط (connection coefficients) و علامت كاما "," مشتق معمولی را نسبت به شاخص بعد از خودش نشان می دهد. در یک بعد داریم . در چهار بعد این تانسور ۲۵۶ مولفه دارد. با استفاده از روابط تقارنی،

                    

تعداد مولفه های مستقل به ۳۶ تا کاهش می یابد. با تحمیل شرط

                    

تعداد مختصه ها به ۲۱ عدد تقلیل می یابد. درنهایت با استفاده از

                  

تعداد مولفه های مستقل ۲۰ تا خواهند شد.

به طور کلی تعداد مولفه های مستقل در n بعد توسط رابطه ی زیر داده می شود:

                     

اعداد هرمی چهار - بعدی (four-dimensional pyramidal numbers) از کوچک به ترتیب عبارتند از ۰ و ۱و ۶و ۲۰و ۵۰و ۱۰۵و ۱۹۶و ۳۳۶و ۵۴۰و ... . تعداد اسکالرهای (scalars) ممکن که می توان آنها را از  و  ساخت، برابرند با

                     

در جملات تانسور ژاکوبی (Jacobi tensor)  

               

فرض می کنیم که

                    

که کمیت نماد کریستوفل نوع دوم (Christoffel symbol of the second kind) است. بنابراین

               

به ساده ترین شکل اش در N بعد تجزیه می شود:

                       

تانسور ریچی

تانسور ریچی یا به صورت مشابه تانسور انحنای ریچی به صورت زیر تعریف می شود

                             

که   تانسور ریمان است.

به تعبیر هندسی این تانسور در واقع نرخ رشد حجم توپی وارهای متریکی را در یک چندگونا کنترل می کند.

انحنای اسکالر

انحنای اسکالر همچنین با نام اسکالر انحنا نیز شناخته می شود، به این صورت معرفی می شود

                             

که   تانسور متریک پادوردا و   تانسور ریچی است.

تانسور اینیشتین

این تانسور عبارت است از

                          

که  تانسور انحنای ریچی و  انحنای اسکالر یا نرده ای و بالاخره  تانسور متریک را نشان می دهد. این تانسور تحت عمل دیورژانس هموردا همواره برابر صفر است. یعنی:

                       

که نماد ; بر مشتق هموردا (Covariant Derivative) دلالت دارد.

سازگاری نسبی و استقلال پیوستار

نظریه ی T را نسبت به نظریه ی 'T نسبی ـ سازگار (relatively - consistent) می نامیم اگر بتوانیم مفاهیم اصلی T را در زبان 'T چنان تعریف کنیم که اکسیوم های T متناظر با گزاره های معینی در 'T باشند، در این صورت نظریه ی T را تعبیر شده (interpreted) در نظریه ی 'T می گوییم.

تعاریف هم اکنون داده شده از ماهیتی فرانظری (metatheoretical nature) برخوردارند. اغلب اثبات تعبیر پذیری مزبور را می توان به طور کامل در زبان 'T اجرا کرد، گرچه استدلال های مدل ـ نظری درباره ی T و 'T سریعتر به موفقیت می انجامد.

در این مورد، این حالت خاص که 'T توسیعی از T در همان زبان L است، از اهمیت مخصوصی برخوردار است.

به خصوص، گزاره ی A از L را نسبت به T سازگار می نامیم اگر نظریه ی {T U {A نسبت به T نسبی ـ سازگار باشد. به عنوان مثال، می توان نشان داد که هندسه ی اقلیدسی و نااقلیدسی نسبت به هندسه ی مطلق (absolute geometry) نسبی ـ سازگارند، یعنی اصل موضوع یا اکسیوم توازی نیز نقیضش نسبت به اصل موضوع های هندسی دیگر سازگارند، به طور مختصر، اصل موضوع توازی از سایر اصل موضوع ها مستقل است.

این واقعیت که اثبات این مطلب را می توان به طور کامل در هندسه ی مطلق انجام داد به هیچ وجه پیش پا افتاده نیست، اما با استانداردهای جدید اثبات استقلال کاری تقریباْ آسان است، البته اگر با استفاده از ابزارهای مدل ـ نظری، و در این حالت با ابزارهای هندسه ی تحلیلی انجام شود.

در سال ۱۹۳۸ میلادی، گودل نشان داد که فرض پیوستار و اکسیوم انتخاب (axiom of choice) نسبت به اکسیوم های دیگر نظریه ی مجموعه ها نسبی ـ سازگارند. بیست و پنج سال بعد کوهن (P. COHEN) اثبات کرد که نقیض فرض پیوستار نیز نسبت به اکسیوم های دیگر سازگار است.

گرچه این دستاوردها شباهتی صوری (formal analogy) با هندسه دارند، وضعیت در آن ها کاملاْ متفاوت است، زیرا می شود از نظرگاهی متحد (unified standpoint)، یعنی نظریه ی عمومی مجموعه ها، انواع هندسه ها را تنظیم کرد. اما اصل متحدی برای تشکیل دستگاه هایی متفاوت، و دو به دو ناسازگار (mutually exclusive) از نظریه ی مجموعه ها وجود ندارد.

بنا به اوضاع کنونی، حتی به نظر نمی رسد که چنین اصول با ماهیت ریاضی ای (mathematical nutute) موجود باشند. زیارا تجرید ریاضی ای (mathematical abstraction) بالاتر از از مورد نظریه ی مجوعه ها مطلقاْ غیرقابل تصور است.

خود گودل این نظر را بیان کرد که گسترش نظریه ی مجموعه ها به اکسیوم های جدیدی منجر می شود که باعث رد اصل پیوستار خواهند شد. اکسیوم هایی که تاکنون برای توسیع محدودیت های معمول نظریه ی مجموعه ها مورد بحث قرار گرفته اند. فی المثل، اکسیوم تارسکی راجع به وجود اعداد دست نیافتنی (inaccessible cardinal numbers) احتمالاْ برای این کار بسنده نیستند.

اکسیوم تارسکس مثالی از اکسیومی است که وجود مجموعه های دیگری، ماورای حوزه ی تعیین شده با اصول مجموعه سازی (set formation) و انتخاب را تضمین می کند. پذیرش چنین اکسیوم هایی را می توان به عنوان توسیع نامحدودی از ریاضیات توصیف کرد. اما باید خاطر نشان کرد که رشد اکسیوم های تازه ی با خصیصه ی نامحدود، خواسته ای مستدل نیست و موجب مشکلات جدی در امر سازگاری می شود. راه های محدود معینی برای حفظ امکان توسیع فوق الذکر وجود دارند، و میان ان ها جمیع گزاره های تاسیسی ـ جهتدار (constructivistically oriented statements).

یک نوع محدودیت نیم تاسیسی بر ساخت نامحدود مجموعه ها پذیرش اکسیوم تاسیس پذیری گودل ( Gödel's constructability axiom)است که مستلزم درستی فرض پیوستار است.

به عنوان نتیجه می توان گفت که دستاورد تحقیق در مبانی ریاضیات سهم اساسی در توضیح برد و مرزهای گزاره های کلاسیک مربوط به مبنای ریاضیات داشته و علاوه بر این، کاربردهای علمی بسیاری در نظریه ی الگوریتم ها (theory of algorithm) و نظریه دستگاههای صوری (theory of formal ystems) است.

 

ناتمامیت نظریه های اکسیوماتیک و تعریف ناپذیری مفهوم راستی یا صدق

هنگام قضاوت در نظریه ی ریاضی، Tای که با هدف تهیه کردن مدلی برای حوزه ی معینی از اشیا، مثلاً فضای فیزیکی (physical space) یا فرآیندهای فیزیکی یا اقتصادی خاصی ایجاد شده است، تنها موضوع مهم موفقیت است. از آنجا که T تنها تحقق آگاهانه ی انتخاب شده از فرایندی حقیقی را نشان می دهد پرسش از راستی گزاره های واقع در آن در مرحله دوم اهمیت است. اما مسئله راستی (truth problem) برای کل ریاضیات، به عنوان علمی بسته، مسئله ای همچنان مطرح است.

این مطلب در مورد هر شاخه فی المثل، نظریه ی اعداد طبیعی یا نظریه مجموعه ها، که با توجه به خاستگاههای آن، نظریه ای اکسیوماتیک نیست، بلکه توصیفی از حوزه ی امکاناْ مجرد معینی از اشیاستُ نیز صادق است.

با اطمینان می توان گفت که گزاره های ریاضی بسیاری، علی رغم خصیصه ی مجردشان رابطه ای نزدیک با واقعیت دارند. به عنوان مثال قضیه ی زیر را در نظر می گیریم که درستی اش آشکار است:

اگر تقسیمی از مجموعه ی متناهی Sای به n رده ی مجزای C_n . . . C₁  موجود باشند که هر رده ی آن دقیقاْ شامل m عنصر است، آنگاه تقسیمی از S به m رده ی مجزای n عنصری نیز وجود دارد.

وضعیت، نسبت به این گزاره ی وسیعاْ پذیرفته شده ی امروزی، که «رابطه ی خوش ترتیبی بر مجموعه ی اعداد حقیقی موجود است»، و عموماْ در مورد گزاره های وجودی که در آنها چیزی درباره ی روش بنای شیء مورد بحث گفته نشده است، کاملاْ فرق دارد.

قضیه ناتمامی گودل (Gödel's incompleteness theorem) و ارتباط آن با مسئله ی دوم هیلبرت

 

در سال 1931 ریاضیدانی آلمانی به نام کورت گودل قضیه ناتمامی پرآوازه اش را درباره سرنوش ریاضیات به اثبات رساند. قضیه ناتمامی می گوید در هر سیستم صوری اصول موضوعه مانند ریاضیات، همواره مسائلی باقی می مانند که بر پایه ی اصول موضوعه ای که سیستم را تعریف می کنند، نه می توانند ثابت و نه رد شوند. به دیگر سخن گودل نشان داد که مسائلی وجود دارند که با هیچ مجموعه ای از مقررات و رویه ها قابل حل نیستند.

قضیه ی گودل محدودیت های بنیادینی بر ریاضیات گذاشت و همچون ضربه ای بزرگ بر جامعه ی علمی وارد آمد، زیرا باور گسترده ای که ریاضیات را نظامی همساز و کامل بر پایه ی یک تک بنیاد منطقی می دانست، واژگون ساخت.

اما مهمترین بحث در این میان ارتباط این قضیه با مسئله ی دوم هیلبرت یعنی سازگاری اصول موضوعه ی حساب است. در حقیقت گودل با ارائه ی این قضیه به این سوال هیلبرت پاسخ منفی داد. فبلا گفتیم که هیلبرت کتابی در زمینه ی مبانی هندسه به چاپ رساند که خود او آن را اصول موضوعه نامید. این کتاب نشانگر شخصیت هیلبرت می شد به گونه ای که هرمان ویل از او به عنوان شخصیتی اثبات گرا و منطقی یاد می کند. این مسئله هیلبرت نیز شخصا در ارتباط با خود اوست. زیرا اولین بار او از عبارت اصول موضوعه در حساب ریاضیات بهره برد. اما روحیه جست و جوگری گودل او را به مطالعه ی این کتاب هیلبرت و آشنایی او با مکتب هیلبرت فراخواند. تا حدی که منجر به ارائه ی یکی از مهمترین قضایای خود در زمینه ی مبانی اصول موضوعه گردید.

اما ساختار قضیه ناتمامی گودل چیست؟

در حقیقت اصل ناتمامیت گودل نشان می دهد که سازگاری اصول موضوعه در هر شاخه ای از ریاضیات مانند تئوری اعداد منجر به یافتن گزاره های تصمیم ناپذیر که در اینجا همان اعداد هستند می شود که گاهاً با نام اولین قضیه ناتمامی گودل یا پاسخ دهنده به دومین مسئله هیلبرت در رابطه با آیا ریاضیات علمی کامل است؟ خوانده می شود. (در مفاد هر گفته ای در زبان تئوری اعداد، هر دو تا از گزاره های ثابت شده و ثابت نشده وجود دارد. در حقیقت این قضیه نشان می دهد که برای هر گزاره ی سازگار w دسته ی بازگشتی k ای جزو فرمول تعریف شده در سیستم وجود دارد که برابر با کلاس بازگشتی نشانه دار مانند r نظیر هیچ یک از دو گزاره ( r و v )هر دو گزاره (r و v) به Flg(k) تعلق دارند، طوری که در آن v متغیری آزاد از r است.

دومین قضیه ناتمامی گودل نشان می دهد که اگر نظریه ی اعداد سازگار باشد آنگاه دلیلی بر این واقعیت وجود ندارد که در آن استفاده از متدهای حساب گزاره ها مجاز باشد که این نشان دهنده ی ضعف اصول نظریه اعداد در رابطه با سازگاری اصول حساب است.

برای اطلاعات بیشتر به  "Penrose's Gödelian argument"  مراجعه کنید.

 

فن وردشی ریتز (Ritz Variational Technique)

روشی برای محاسبه ی ویژه توابع (eigenfunctions) ویژه مقدارها (eigenvalues) است. برای توصیف با استناد بر

                   

که برای داشتن ارزش ثابت (*) الزامی است، مشروط به شرط بهنجارش

                              

و شرایط مرزی

                                      

که این در نهایت به معادله ی استروم-لیوویل (Sturm-Liouville equation) منجر خواهد شد

                

که مقادیر ثابت را بدست می دهد

                

به طوریکه در آن

              

و  ویژه مقادیر (eigenvalues) متناظر با ویژه تابع  هستند.

پیوست*:

ارزش ثابت یا مقدار ثابت به مقداری اطلاق می شود که تابع در یک نقطه مانا دارد.

این مقدار می تواند یک نقطه ی عطف (inflection point)، یک نقطه ی مینیمم (minimum) و یک ماکزیمم (maximum) باشد. نقاطی که در آنها همواره مشتق تابع صفر می گردد.

منابع:

Arfken, G. "Rayleigh-Ritz Variational Technique." §17.8 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 957-961, 1985.

Rayleigh, J. W. "In Finding the Correction for the Open End of an Organ-Pipe." Phil. Trans. 161, 77, 1870.

Ritz, W. "Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik." J. reine angew. Math. 135, 1-61, 1908.

Whittaker, E. T. and Robinson, G. "The Rayleigh-Ritz Method for Minimum Problems." §184 in The Calculus of Observations: A Treatise on Numerical Mathematics, 4th ed. New York: Dover, pp. 381-382, 1967 

نگاهی به 23 مسئله هیلبرت

در سال ۱۹۰۰ میلادی دیوید هیلبرت (۱۸۶۲- ۱۹۴۳م) در دومین کنگره بین المللی ریاضی دانان در پاریس در یک سخنرانی از مسائل ریاضیات سخن گفت و پس از آن هرمن ویل (Herman Weyl) درباره آن مسائل چنین گفت: «هرکس این مسائل را حل کند به کلاس افتخاری ریاضیدانان وارد می شود.» در همین سال هیلبرت به یک ریاضیدان برجسته در آلمان تبدیل شد. او به خاطر حل مسائل اساسی در نظریه ی پایایی و گزارش مهم در نظریه اعداد که در سال ۱۸۹۶ به چاپ رسید مشهور شد. در سال ۱۸۹۹ به درخواست کلاین (Klein) او کتاب مبانی هندسه را برای تجلیل از مقام گائوس (Gauss) و وبر (Weber) در گوتینگن به چاپ رساند. هرویتز (Hurwitz) در نامه ای به هیلبرت درباره ی این کتاب نوشت: «شما با نوشتن این کتاب کوچک زمینه ی شگرفی از تحقیقات را باز کردی که می توان آن را ریاضیات اصل موضوعه نامید که بسیار فراتر از قلمرو هندسه است. او طی این سخنرانی ۲۳ مسئله در رابطه با ریاضیات را عنوان نمود که عناوین آن به شرح زیر هستند:

۱- مسئله کانتور برای عدد کاردینال پیوستار 

۲- سازگاری اصول موضوعه ی حساب

۳- تساوی حجم دو چند وجهی با مساحت قاعده و ارتفاع برابر

۴- مسئله خط مستقیم با کوتاهترین فاصله بین دو نقطه

۵-مفهوم لی (Lie) از گروه های پیوسته از تبدیلات بدون فرض مشتق پذیری توابع تعریف کننده ی گروه ها

۶- ارائه ساختار اصل موضوعی ریاضیات برای فیزیک

۷- گنگ و متعالی بودن اعدادی معین

۸- مسئله اعداد اول، توزیع اعداد اول و فرضیه ی ریمان

۹- اثبات کلی ترین اصل تقابل در هر میدان

۱۰- آیا یک الگوریتم برای تعیین حل پذیری معادلات دیوفانتی وجود دارد. 

۱۱-ارائه ی یک نظریه برای فرم های درجه دوم با ضرایب عددی جبری

۱۲- تعمیم قضیه ی کرونکر برای میدان های آبلی به هر ساختار جبری گویا

۱۳- ناممکن بودن حل معادلات کلی درجه ۷ توسط توابعی تنها از دو متغیر

۱۴- اثبات متناهی بودن دستگاههای کامل و مشخص از توابع

۱۵- ارائه ی مبانی دقیق از حساب شمارش شوبرت (Schubert)

۱۶- مسئله توپولوژی منحنی ها و رویه های جبری و تعیین کرانی برای تعداد سیکل های حدی دستگاههای چند جمله ای در صفحه

۱۷- نمایش فرم های مشخص توسط مربع جملات

۱۸- ساختن فضاهای اقلیدسی با تعداد متناهی گروههای چند وجهی

۱۹-آیا جواب های مسائل منظم در حساب تغییرات لزوماْ تحلیلی اند؟

۲۰-ارائه ی یک نظریه ی کلی برای مسائل شرط مرزی

۲۱- اثبات وجود معادلات دیفرانسیل خطی با گروه مونودرامی از پیش تعیین شده

۲۲- یکنواخت سازی روابط تحلیلی توسط توابع اتومورفیک

۲۳- توسعه ی بیشتر روش های حساب تغییرات.

که از این میان تنها مسئله ۱۶ ام هیلبرت تاکنون لاینحل باقی مانده است. در ادامه با برخی از این مسائل و حل آنها بیشتر آشنا خواهیم شد.

دیورژانس

دیورژانس (divergence) یک میدان برداری مانند ، نمادگذاری به صورت  یا  (در اینجا از نمادگذاری نوع دوم بهره خواهیم گرفت)، به وسیله حد انتگرال رویه ای (surface integral)

                                 

تعریف می شود که در آن انتگرال رویه ای، مقدار انتگرالگیری شده  روی رویه ی مرزی بینهایت کوچک بسته ای در اطراف عنصر حجمی, را نشان می دهد، طوری که این رویه با استفاده از یک عملیات حدی به اندازه ی صفر برده شده است. بنابراین دیورژانس یک میدان برداری (vector field)، یک میدان اسکالر (scalar field) است. اگر ، آنگاه میدان یک میدان فاقد دیورژانس (divergenceless field) است. نماد  همچنین با نام عملگرهای "دل" (del) و یا "نابلا" (nabla) نیز شناخته می شود.

مفهوم فیزیکی دیورژانس یک میدان برداری، حاکی از نرخ "چگالی" موجود در یک ناحیه ی مشخص از فضا است. لذا تعریف دیورژانس به طور طبیعی (در غیاب فرض ایجاد شدن یا به زوال رفتن ماده، به طور کلی متغیر بودن ماده) تنها با اتکا بر این فرض قابل حصول است که چگالی داخل یک ناحیه ی فضایی تنها می تواند با داشتن جریان به سمت داخل یا بیرون از ناحیه ی مفروض تغییر کند. با اندازه گیری شار (جریان) کل محتوای ماده ی گذرنده از یک رویه در اطراف ناحیه ی فضایی مربوطه، بلافاصله ممکن خواهد بود تا بگوییم چگونه چگالی داخلی تغییر یافته است. این یک ویژگی بنیادین در فیزیک است که با نام "اصل پیوستگی" (principle of continuity) شناخته می شود. هنگامی که این اصل به صورت یک قضیه رسمی عنوان شد، از آن پس آن را قضیه ی دیورژانس (divergence theorem) و یا همچنین قضیه ی گائوس می نامند. در حقیقت تعریف بکار برده شده در معادله بالا بیانی از قضیه ی دیورژانس است.

تنگرام

به زبان ساده تنگرام (Tangram) عبارت است از یک معمای چینی که می گوید یک مربع را می توان به ۵ مثلث، یک مربع و یک لوزی چنان کاهش داد، طوری که طرز آرایش این اشکال در کنار هم می تواند متفاوت از هم باشد، ولی در کل شکل نهایی یک مربع است. این تعریف کمی گنگ است، لذا به سراغ جستار فنی تر می رویم:

تنگرام، ترکیبی از قطعات چندضلعی صفحه مانندی است به نحوی که اضلاع این چندضلعی ها منطبق بر همدیگر هستند. در کل ۱۳ تنگرام محدب وجود دارد (یک تنگرام محدب شامل یک مجموعه از قطعات تنگرام است که در یک چند ضلعی محدب (convex polygon) مانند مربع چیده شده اند).

جالب است بدانید که شکل راست در زیر (مربوط به یک تنگرام با اجزای رنگ شده) علامت ویژه یا به اصطلاح لوگوی شرکت خدمات آب و برق ... Illinois Power در آمریکا است.

منابع:

Cundy, H. and Rollett, A. Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp. 19-20, 1989.

Gardner, M. "Tangrams, Part 1" and "Tangrams, Part 2." Chs. 3-4 in Time Travel and Other Mathematical Bewilderments. New York: W. H. Freeman, pp. 27-54, 1988.

Illinois Power. "Illinois Power Home Page." http://www.illinoispower.com

Johnston, S. The Fun with Tangrams Kit: 120 Puzzles with Two Complete Sets of Tangram Pieces. New York: Dover, 1977.

Johnston, S. Tangrams ABC Kit. New York: Dover, 1985.

Pappas, T. "Tangram Puzzle." The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, p. 212, 1989.

Read, R. C. Tangrams: 330 Puzzles. New York: Dover, 1980.

Slocum, J. The Tangram Book: The Story of the Chinese Puzzle with Over 2000 Puzzles to Solve. New York: Sterling, 2003

سری فوریه

 

سری فوریه عبارت است از بسط تابع تناوبی  در قالب جملاتی از جمع نامتناهی کسینوس ها و سینوس ها. در واقع سری فوریه بر کاربرد روابط تعامد (orthogonality relationships) توابع سینوسی و کسینوسی تاکید دارد. محاسبه و مطالعه ی سری های فوریه موسوم به آنالیز هارمونیک (harmonic analysis) می باشد که به عنوان یک روش بسیار سودمند برای تفکیک یک تابع تناوبی دلخواه به مجموعه ای از جملات ساده بوده که به راحتی می توان آنها را فهمید، منحصرا حل کرد و دوباره با ترکیب آنها راه حل مساله ی اولیه را بدست آورد، یا اینکه یک تقریب مطلوب و مناسبی را برای آن تخمین زد. نمونه هایی از تقریب های متوالی برای توابع معمول در ریاضیات با استفاده از سری های فوریه در شکل بالا گرداوری شده است.

به ویژه از آن جایی که با توجه به اصل انطباق (برهم نهی) مجموع پاسخ های یک معادله ی دیفرانسیلی معمولی همگن خطی خود راه حل معادله ی اولیه محسوب می شوند، چنانچه بک چنین معادله ای را بتوان برای یک خم سینوسی یکتا حل کرد، آنگاه راه حل یک تابع دلخواه را می توان فورا با استفاده از توصیف تابع اولیه در قالب یک سری فوریه بدست آورد که متعاقبا این رویه منجر به فهم راه حل هر یک از مولفه های منتسب به خم سینوسی می گردد. این تکنیک حتی در برخی موارد خاص که سری فوریه محصور به یک شکل محدود و بسته است، به راه حل های تحلیلی نیز می انجامد.

هر مجموعه ای از توابعی که یک دستگاه متعامد (راست گوشه) کامل (complete orthogonal system) را تشکیل می دهند، یک سری فوریه ی تعمیم یافته (generalized Fourier series) متناظر دارند که شبیه به سری فوریه است. مثلاْ استفاده از تعامد ریشه های تابع بسل نوع اول (Bessel function of the first kind) به اصطلاح یک سری بسل ـ فوریه (Bessel function of the first kind) را بدست می دهد.

محاسبه ی سری فوریه (معمول) بر پایه ی اتحاد های انتگرالی زیر است:

             

            

             

                         

                         

که  و  نماد دلتای کرونکر است:

               

با استفاده از متد سری فوریه تعمیم یافته (generalized Fourier series) سری فوریه ی معمول شامل جملات سینوسی و کسینوسی با قرار دادن  و  حاصل می شود. چون این توابع یک دستگاه متعامد کامل در بازه ی را ایجاد می کنند، سری فوریه تابع  به صورت زیر داده می شود:

               

که

            

              

              

 و ... n=۱،۲،۳ توجه کنید که عامل a₀ در فرم خاصی نوشته شده است که در قیاس با شکل عمومی سری فوریه تعمیم یافته می تواند تقارن نسبت به تعاریف  a_n و b_n را حفظ کند.

اگر یک تابع شرایط دیریشله (Dirichlet conditions) را تصدیق کند، سری فوریه تابع مزبور همگرا به تابع  می باشد که برابر با تابع اولیه در نقاط پیوستگی و یا میانگین دو حد در نقاط ناپیوستگی است، یعنی

            

به عنوان یک نتیجه، در نزدیکی ناپیوستگی ها، یک رشته ی حلقوی موسوم به پدیده ی گیبس

(Gibbs phenomenon) می تواند اتفاق بیفتد که در شکل بالا به وضوح این مطلب قابل تایید است.

 

کاربردی از ریاضیات در طراحی جاده ها و خطوط راه آهن

قطار های مدل اغلب داری دو نوع ریل هستند : ریل های خمیده ، که در بیشتر اوقات کمان هایی از یک دایره به شعاع R هستند ، و ریل های راست.  این ریل ها عمدتا طوری طراحی شده اند که به شکل زیر سرهم بندی می شود

                              
مسیر های AB و  CDمستقیم و مسیرهای BC و  DAنیم دایره هستند.اما آیا این مسیر ها به اندازه کافی خمیده هستند ؟!
مسیر های طراحی شده بوسیله اصطکاک پایدار می ماند و اغلب ممکن است در هنگام عبور قطار از روی آنها جدا شوند.اگر چه ممکن است در وسط مسیر های خمیده یا مسیر های مستقیم اتصالات دیگری نیز وجود داشته باشد ولی در بیشتر مواقع مسیر کلی از نقاط A,B,C,D جدا می شود .
برای بررسی این اتفاق تصور کنید قطاری با سرعت  ثابت  در حال حرکت است بنابراین شتاب مماس آن یعنی  صفر است و در نتیجه شتاب کلی آن تنها شتاب مرکز گرای آن   است( شعاع خمیدگی مسیر است که برای شکل بالا بر روی مسیر خمیده مقداری برابر R دارد).بنابراین اندازه شتاب بر روی مسیر مستقیم صفر است و در مسیر نیم دایره  است.به این دلیل مقدار شتاب در نقاط A,B,C,D نا پیوسته است (همانطور که در نمودار مشخص است). همین نا پیوستگی سبب می شود تا نیروی عکس العملی که از جانب قطار به ریل وارد می شود نیز در این نقاط نا پیوسته باشد . به همین دلیل نوعی شوک یا ضربه به هنگام وارد شدن و یا ترک پیچ وجود دارد ( البته حتما اثر این ضربه را در پیچ های غیر اصولی هنگام عبور خودرو و یا برعکس نیروی نرم و یکنواختی را در هنگام سفر در داخل مترو حس کرده اید) برای جلوگیری از بوجود آمدن چنین نقاط فشاری که موجب خروج قطار از ریل و یا خروج خودرو از جاده می  شود مسیرها می بایست طوری طراحی شوند که خمیدگی جاده بطور یکنواخت تغییر کند.( البته این طراحی بطور نسبی و با توجه به شرایط محیطی و کمک گرفتن از شیب و اتصالات قوی تر نیز قابل بهبود است )

مثال : مسیری در امتداد  منفی محور x ها و مسیر دیگری در امتداد شعاع y=x-1 ، x≥2 وجود دارد می خواهیم این دو مسیر را با استفاده از منحنی  چند جمله ای f، به اندازه کافی خمیده و با حد اقل درجه ،  طوری بهم وصل کنیم که هیچ گونه نا پیوستگی شتاب در نقاط اتصال احساس نشود.

راه حل : منحنی f باید طور انتخاب شود که مسیر ، شیب و خمیدگی آن در نقاط  x=0 و x=2  پیوسته باشد.(همانطور که می دانیم خمیدگی عکس شعاع خم است )از آنجا که خمیدگی ( curvature ) منحنی f بصورت زیر است

 
و f چند جمله است ما تنها نیاز داریم f و  'f و ''f در نقاط اتصال به y=0 ، x≤0 و y=x-1 ، x≥2 مقادیر y و  'y و ''y را داشته باشد تا پیوستگی های مورد نظر اعمال شود یعنی هم مسیر پیوسته شود و هم از پیوستگی f' و f'' پیوستگی   نتیجه شود و بنابراین   و شتاب کل   پیوسته می شود.

y(0)=f(0)=0    y'(0)=f'(0)=0   y''(0)=f''(0)=0
y(2)=f(2)=1    y'(2)=f'(2)=1  y''(2)=f''(2)=0

این شش شرط مستقل به ما چند جمله ای درجه  5 را پیشنهاد می کند :

f(x)=A+Bx+Cx²+Dx³+Ex⁴+Fx⁵
f'(x)=B+2Cx+3Dx²+4Ex³+5Fx⁴
f''(x)=2C+6Dx+12Ex²+20Fx³

سه شرط x=0 ، A=B=C=0 را نتیجه میدهد و برای سه شرط x=2 داریم :

8D+16E+32F=f(2)=1
12d+32E+80F=f'(2)=1
12D+48E+169F=f''(2)=0

که عدد های D=1/4 و E=-1/16 و F=0 را نتیجه می دهد و در نتیجه جواب :

که در نهایت مسیر کلی بصورت زیر است:

 
است. البته طراحان جاده ها و سازندگان ریل قطار ها اغلب از چند جمله ای ها برای اتصال استفاده نمی کند و در عوض از خم های clothoid و Lemniscat استفاده می کنند. چرایی استفاده از خم های بالا نیز به خواص جالب آنها بر می گردد که خود قبل تامل می باشد!