شتر و گندم

میخواهیم شما زحمت بکشید و برای ما ده تن گندم را از شیراز به کرج که فاصله شان از یکدیگر هزار کیلومتر است( اینطور فرض کنید )منتقل نمایید. تنها وسیله ی نقلیه ای هم که در اختیارتان خواهیم گذاشت یک شتر است. این شتردر اصل اهل شگفت آباد است و یک جورهایی عجیب و غریب است. مثلا"میتواند تا یک تن گندم بر پشت خود حمل کند و هفته ها و ماه ها، شب و روز بدون لحظه ای توقف یا خواب و بدون آنکه خسته شود راه برود. بیچاره برای اینهمه کار طاقت فرسا، خیلی هم کم توقع است و برای هر کیلومتر که راه میرود، فقط یک کیلو گرم از گندمی را که بر پشت خود دارد میخورد. شما برای ما حساب کنید ببینید با چنین شتری حد اکثر چند تن گندم را میتوانید در کرج تحویل ما بدهید.

                                    

مسئله کوه و جاده

فیروزه و فرشته نقشه برداران وزارت راه و ترابری هستند. در یک روز آفتابی که برای انجام ماموریتی در حال مسافرت بودند در سمت چپ بزرگراه مستقیمی که روی آن رانندگی میکردند و در دور دستها کوه بلند و زیبایی را مشاهده کردند با قله ای پوشیده از برف. کنجکاو شدند بفهمند بلندی کوه چقدر است و فاصله ی آن تا جاده چه اندازه است.

 

در یکی از توقفگاههای کنار جاده ترمز کردند( نقطه A ) و دوربین نقشه برداری خود را روی سه پایه گذاشته و به قله ی کوه نشانه رفتند و زاویه ی دید قله را اندازه گیری کردند : شد 6 درجه. سوار اتومبیل خود شده و بیست کیلومتر دیگر رانندگی کردند و در یک توقفگاه دیگر( نقطه B  ) زاویه ی دید قله را دوباره اندازه گیری کردند : این بار شد 7 درجه. باز سوار بر اتومبیل خود شده و پانزده کیلومتر دیگر رفتند و در توقفگاه سوم( نقطه C ) زاویه ی دید قله را اندازه گرفتند : شد 4 درجه.

 

                                   

 

آنگاه برای رفع خستگی نشستند تا یک فنجان چای بنوشند. در همین حال قلم و کاغذ و یک ماشین حساب بیرون آوردند و ظرف کمتر از یکساعت، هم بلندی کوه را محاسبه کردند و هم فاصله ی آنرا تا جاده  بدست آوردند. شما میدانید آنها چطور این مجهولات را پیدا کردند؟ خب، شما هم آستین هایتان را بالا بزنید، قلم و کاغذ و یک ماشین حساب بردارید و دست به کار حل مسئله شوید!

 

 

اندازه ی دقیق اضلاع و محیط یک مثلث

در شکل زیر ارتفاع، نیمساز و میانه ی صادر شده از یک راس مثلث داده شده است، اندازه ی دقیق اضلاع مثلث و در نهایت اندازه ی دقیق محیط آنرا در ساده ترین شکل خود محاسبه کنید.  

                                             

 

مسئله را در حالت کلی هم حل نمایید، یعنی با داشتن ارتفاع، نیمساز و میانه، فرمولی پیدا کنید در ساده ترین شکل خود که محیط مثلث را بر حسب این سه کمیت به دست دهد:

                                                 

 

پروفسور غلامحسین مصاحب

دکتر مصاحب از جمله کسانی بود که به تاريخ فلسفه و ياد دادن انديشه اکتفا نمی کرد، و "هنر ِانديشيدن" را ياد می داد. وی با ُعمل ِ خويش نشان می داد که در برابر اراده انسانی، ُمحال نيز، َسر ِ تسليم فرود می آوَرد و می گفت:
"وقتی همه مقدّمات توانستن در درون ما و يا در دسترس ما هست، چرا نتوانيم؟ فقط بايد خواست و يک قدم برداشت."
بارها روی اين نکته تاکيد می نمود که "منطق رياضی، توان اين را دارد که تفکر بشری را از محصور بودن در کادر درست و غلط و صواب و خطا، به مرز ديگری که معنی دار و بی معنی بودن است فرا َبرَد و بدين طريق در پالودن ذهن از خرافات، پيشداوری ها و اوهام، نقش تعيين کننده ای بازی کند."

متأسفانه در زبان فارسی تنها کتاب با ارزش ولی تخصّصی در اين مورد، "منطق صورت" نوشته دکتر مصاحب است.

دکتر مصاحب با نگارش کتاب "منطق صوری" در سال ۱۳۳۴ منطق رياضی جديد را وارد ايران نمود.
کتاب "مدخل منطق صوری" بدون شک نقطه عطفی در تاريخ تفکر عقلی در ايران است که به توصيه و ارشاد استاد مجتبی مينوی و دکتر يحيی مهدوی تهيه گرديده است. 

اين کتاب اگر چه اساساً در مقام معرّفی منطق جديد به جامعه فارسی زبان است لکن به حوزه های ديگر همچون متدولوژی علوم قياسی، مبانی منطقی رياضيات و منطق تطبيقی نيز توجه و اهتمام دارد.

دکتر مصاحب که همدم آنالیز و منطق و همنشین امثال

 Godfrey Harold Hardy  "گادفری هرولد هاردی" و Alfred north Whitehead  "آلفرد نورث وايتهد" و "برتراند راسل"، بود - روشنگری را با نيش زدن به مذهب و معتقدات افراد قاطی نمی کرد! و ابائی نداشت در لابلای صحبت هایش از آیات قرآن مثال بزند.
او در عين مهربانی، بسيار جدی بود. از سال ۱۳۰۶ که به خدمت وزارت معارف درآمد و ِسِمَت های رئيس کل تعليمات عاليه و مدير کل فنّی و معاون فنّی اين وزارتخانه را داشت، تا بعد که استاد و رئيس بخش رياضی دانشسرای عالی شد و تا دم مرگ، آرام و قرار نداشت و براستی، خستگی را خسته می کرد.

دکتر مصاحب  به بازشناسی ميراث علمی ايران به ايرانيان بويژه در زمينه علوم بسيار اهميت می‏داد و می‏کوشيد که بخش هايی از تاريخ رياضيات ايرانی و اسلامی را که برای جامعه ما ناشناخته است آشکار کند، توجه به خيّام به عنوان رياضيدان، بخشی از اين کوشش است.
در کتاب هائی مانند آناليز رياضی، دائرةالمعارف فارسی و به ‏ويژه تئوری مقدماتی اعداد، نام ها و سرگذشت نامه‏هايی از رياضيدانان ايرانی و خدمات علمی آن ها آورده است که می‏تواند برای بررسی تاريخ رياضيات، منبعی دقيق و بسيار غنی باشد.

از يک طرح کوچک، آرمانی بزرگ می‏ساخت. در سال ۱۳۴۵ مؤسّسه رياضيات را در دانشسرای عالی تاسيس کرد تا افرادی را تربيت کند که بتوانند رياضيات جديد را در ايران گسترش دهند. بسياری از استادان امروزين رياضيات محض، از شاگردان دکتر مصاحب در مؤسسه رياضيات بودند.
می‏گفت:

"اين موسسه، تنبل ‏خانه شاه عباس نيست. هر کس اينجا آمده بايد مثل خود من که کارم را از پنج صبح شروع می‏کنم، کار بکند؛ روز و شب و تابستان و در کتابخانه. اينجا تعطيلی ندارد."
نا گفته نماند که در حقيقت خودش از ساعت سه نيمه شب کار را شروع می کرد.
دکتر مصاحب با تأليف سلسله کتاب هايی در آموزش رياضيات جديد، قصد داشت در زمينه انتقال رياضيات روز جهان به ايران زمين، حرکتی به روز و عميق سامان دهد که آغاز آن با  کتاب "آناليز رياضی" بود.
اين زنجيره با مجلدات "تئوری مقدماتی اعداد" ادامه يافت و متأسفانه با به خاک افتادنش ازهم گسيخت. در سپيده ‏دم ۲۱ مهر ۱۳۵۸ آخرين صفحه ِ بخشی از کتاب "تئوری مقدماتی اعداد" را که از چاپخانه آمده بود نمونه‏خوانی کرد و در حالی که قلم لای انگشتش بود، به خاک افتاد ...

 

رياضيات عالی و حتی رياضّيات مقدماتی در ايران، پيش از وی  وضعيّت اسف ‏انگيزی داشت. از تئوری مجموعه‏ها، منطق جديد و رياضيات مدرن خبری نبود...کتاب های درسی رياضی، به َسبک تأليف ۱۰۰ سال پيش ِ اروپا  و بسيار قديمی بود.

اگر امروز سخن از منطق نوين، رياضيات جديد، تئوری مجموعه‏ها، تئوری گروه ها، ساختمان های رياضی، تئوری اعداد، توپولوژی و ديگر مفاهيم نوين رياضی می‏رود، نتيجه آثار دکترمصاحب، تأسيس مؤسسه رياضيات و دگرگون سازی نظام آموزش رياضی در ايران به ‏وسيله اوست.

دکتر مصاحب می‏خواست انديشه‏های نو، و نيز آنچه را که از امثال وايتهد و ها ردی در رياضيات و منطق آموخته بود در ايران زمين گسترش دهد. او از شاگردان ممتاز و برجسته برتراند راسل، و به براستی "پدر رياضيات جديد" بود.  

حدود هفتاد سال پيش مجله رياضيات عالی و مقدماتی را که به نظر می‏رسد نخستين نشريه رياضی کشور باشد به ‏صورت ماهنامه و در ۱۳ شماره منتشر نمود- اين مجله به مسائل مربوط به رياضيات عالی و مقدماتی می‏پرداخت و در پی انتقال آگاهی های تازه درباره رياضيات جهان به دانش‏آموزان و دانشجويان داخل کشور بود. 

*** 
از آنجا که رياضيات جديد و منطق نوين (منطق علامتی) را او به ايران وارد کرد، طبيعتاً بسياری از علايم جديد را در ميان حروف و علايم موجود رياضی پيدا نمی کرد. سفارش طرح علايم جديد رياضی و حروفی از جمله حروف ايرانيک، نخستين بار به ‏وسيله دکتر مصاحب انجام گرفت و آن ‏چه امروز به نام "حروف فارسی خوابيده" يا حروف ايرانيک می‏شناسيم، نخستين بار طرح آن از سوی وی سفارش داده شد تا فارسی‏زبانان نيز حروف ايتاليک فارسی داشته باشند.
وی اين حروف را به‏خاطر کاربرد وسيع آن برای کتاب آناليز رياضی سفارش داد و برای نخستين بار در ميهن مان، آن را در همان کتاب به کار گرفت. اين حروف را نخست، "حروف دکتر مصاحب" نام نهادند اما خودش درخواست کرد که نام آن را تغيير دهند و خود، واژه "ايرانيک" را برای آن برگزيده و به کار برد.
گرچه رعايت طبقه‏بندی موضوعی و تدوين حروف و رموزی چند متناسب با اين طبقه‏بندی به گونه‏ای ديگر در آثار کهن فارسی و اسلامی سابقه دارد، اما هيچ ُمحققی از روش موسوم به پئانو، بی نياز نيست.

دکتر مصاحب نخستين فردی در ايران است که از "روش پئانو" در تأليف آثار خود به ‏ويژه کتاب های رياضی بهره گرفت. ناگفته نماند که جوزپّه پئانو (Giuseppe Peano) (۱۹۳۲-۱۸۵۸) رياضيدان ايتاليايی و از مؤسسان منطق جديد که او را پدر اين علم خوانده‏اند، از شخصيت های تأثيرگذار و ُپريادگار در رياضيات و منطق امروز است. از کارهای پئانو در تأليف کتاب، روش شماره ‏گذاری اوست که به نام وی معروف است. در اين روش عناوين اصلی را با يک شماره، عناوين فرعی را با دو شماره و عناوين فرعی‏تر را به نسبت فرعی بودن آن با سه شماره و بيشتر مشخص می‏کنيم. مثلاً عنوان اصلی سوم را با عدد ۳، زير عنوان پنجم آن را با ۵-۳، و زير عنوان ششم اين عنوان فرعی را با ۶-۵-۳ شماره ‏گذاری می‏کنيم . اين روش اينک رايج شده و کار پژوهشگران را ساده می کند.
در مورد وضع کلمات تازه در برابر لغات خارجی روش ويژه ای داشت. نشستی هفتگی در خانه خود تشکيل داده بود که در آن احمد آرام، صفی اصفيا، حسين گل گلاب و مصطفی مقربی  و...حضور داشتند و معادل های فارسی برای واژه‏های علمی می‏ساختند.
کتاب فرهنگ اصطلاحات جغرافيايی که در سال ۱۳۳۸ به چاپ رسيده، حاصل آن تلاش ها  است. آنان مجمع خود را، به شوخی "ضراب‌خانه" می گفتند، و لغت‌هايی را که می‌ساختند، "مضروبات" می‌خواندند.
واژه‏سازی برای اصطلاحات علمی نيز، برای دکتر مصاحب اهميت بسيار داشت. واژه  به روز، و "روز آمد" را دکتر مصاحب در برابر  Up to date انگليسی نهاد،  اما روزآمدتر از او در آن زمان کسی ديگر نبود.
اگر به فهرست منابع و مآخذ کتابهايش مراجعه کنيم می‏بينم که کليه مراجع مربوط را که تا تاريخ اتمام نگارش کتاب چاپ شده بودند، دارد.
مراجعی به زبان های انگليسی، فرانسه و آلمانی برای کتاب های رياضی يا مثال ها و مسائل رياضی.

 از جمله آثار او مي توان از کتب زير ياد کرد:

• مدخل منطق صورت 1334 انتشارات دانشگاه تهران، در 700 صفحه

• مجله "ریاضیات عالی و مقدماتی" 1309 - 1310

• حکيم عمر خيام به عنوان عالم جبر (انجمن آثار ملي)

• جبر و مقابله‌ي خيام( تهران 1317) كه شامل متن عربي و ترجمه‌ي فارسي رساله‌ي خيام در جبر و تاريخ رياضيات تا زمان خيام است. در اين كتاب براي نخستين‌بار جايگاه علمي خيام در رياضيات به‌ طور مستقل به زبان فارسي شناسانده شده است.

• منطق رياضي

• شاهکاري به نام آناليز رياضي

• تئوري مقدماتي اعداد، جلد اول 1353 در 1395 صفحه و جلد دوم 1358 در 1802 صفحه

• توابع مستدیر،

• جبر و مقابله با جداول لگاريتم،

• براهين الجبر و المقابله عمر خيام،

• تاريخ علوم رياضي تا زمان عمر خيام،

• هندسه مسطحه،

• مثلثات (با همکاري احمد ارشميد)،

• رسم فني (با همکاري احمد ارشميد)،

• فيزيک (...)،

• همکاري در تدوين فرهنگ اصطلاحات جغرافيايي (با ؛ احمد آرام، صفي اصفيا، حسين گل گلاب و مصطفي مقربي)،

• مجله‌ي رياضيات عالي و مقدماتي ( 10-1309)،

• رساله‌ي دكتري كه در جلد ششم مجله‌ي انجمن فلسفه‌ي كمبريج در سال 1950 ميلادي چاپ شده است.

• علوم تفريحي،

• دایره‌المعارف فارسي، جلد اول، الف تا غ،

 

دكتر منوچهر وصال

يك عمردر ميان اعداد

دكتر منوچهر وصال، پدر آناليز ايران
متولد: هفتم بهمن ماه ۱۲۹۱ تهران
اخذ ديپلم رياضى در تهران ۱۳۱۱
تحصيل در مدرسه «ژانون روسايى» فرانسويها در پاريس
ورود به دانشگاه سوربن براى تحصيل رياضى ۱۳۱۲
دريافت درجه دكتراى رياضيات از دانشگاه سوربن ۱۳۱۹
بازگشت به ايران ۱۳۲۰
نزديك به نيم قرن تدريس رياضى
مؤسس دانشكده مهندسى دانشگاه شيراز ۱۳۴۱
معاونت آموزشى دانشگاه شيراز از سال ۴۱ به مدت ۱۵سال
تدريس رياضى در دانشكده هاى تربيت معلم، شهيد بهشتى، اصفهان و تبريز
پايه گذارى نخستين كنفرانس رياضى در ايران
پيشنهاددهنده تأسيس انجمن رياضى ايران
تأليف دو جلدكتاب رياضى عمومى، يك جلدكتاب آناليز و برگزيده هايى از نظريه اعداد، جستارهايى در باب جبر و مثلثات
بازنشستگى ۱۳۵۶
اشتغال به ويراستارى كتب رياضى و سرپرست گروه رياضى و آمار درمركز نشر دانشگاهى از ۶۰ تا ۸۲

 

                                                            

چهره ماندگار رشته رياضى در چهارمين همايش چهره هاى ماندگار ۱۳۸۳
«براى آنكه دريابيد حل مسأله در رياضيات هم ممكن است به اندازه حل يك جدول كلمات متقاطع يا بازى تنيس لذت بخش باشد، بايدكمى تلاش كرد. اگر تا به حال كيك تمشك دار نخورده باشيد، چطور ممكن است از آن خوشتان نيايد و يا دوستش داشته باشيد؟! اگر مزه لذت را در رياضيات بچشيد، مطمئن باشيد به آسانى آن را فراموش نخواهيد كرد... »
يك رياضيدان فرنگى به نام جرج پوليا، كتاب خود را درباره حل مسأله در رياضى، با اين جملات آغاز كرده است و به راستى رياضى از آن دسته علومى است كه تا بر آن محيط نشوى و بر تو محيط نشود، به زيباييهاى درونى اش دست نخواهى يافت. با اين حال بسيارى بودند و هستند در اين سرزمين كه زندگى را با رياضيات به سر برده اند و ثبات و ميانسالى و پيرى را وقف گسترش و پرورش اين علم در ايران كرده اند.
منوچهر وصال از جمله اين مردان است و مهرگان امروز به او اختصاص يافته است.
ژيان مجيدى: آنچنان مهربان و بانزاكت است كه در نود و دوسالگى به احترام ميهمان و به رسم ميهمان نوازى ويژه اى كه دارد، از جاى برمى خيزد، لبخند مى زند و خوشامد مى گويد. منوچهر وصال كه قرنى پرتلاطم را زيسته است، پدر آناليز ايران نام دارد.
زمانى كه ايران به سوى تغيير چهره سياسى خود و انتقال قدرت از رضاشاه به پسرش پيش مى رفت او و همفكران و هم نسلانش به دنبال كسب علم و دانش ايران را ترك مى كردند تا از خوان علم فرنگ، تحفه اى و ارمغانى براى سرزمين خويش بياورند.
وصال در سال۱۲۹۱ در تهران به دنيا آمده است. جد پدريش وصال شيرازى اديب معروف قرن سيزدهم است و جالب است بدانيد كه مادرش دختر ذكاءالملك و محمدعلى فروغى نويسنده و نخست وزير ايران، دايى او بوده است.
در محضر پدر شروع به تحصيل ادب و علم مى كند. از كودكى خاطره دقيقى به ياد ندارد و وقتى صحبت از تهران قديم مى شود و اينكه در كدام محله مى زيسته اند، با تأسف مى گويدكه فراموش كرده اماجايى در نزديكى خيابان سپه بوده است. پدر كه خود از خاندانى اديب و هنرپرور بود و سواد قابل اعتنايى داشت، در كودكى مسائل رياضى منوچهر خردسال را حل مى كرده و خاطره روشهاى جذاب او در حل مسائل رياضى انگيزه اى بوده است تا رياضى را به عنوان تخصص و رشته مورد علاقه اش دنبال كند... به ياد مى آورد كه پدر، او و يكى ازديگر فاميلها را براى يادگيرى خط و كتابت، نزد عمادالكتاب خوشنويس معروف آن دوران مى برد. چشمهايش از به يادآورى اين خاطره مى درخشدو مى گويد: «او مرد بزرگى بود و به ما در پيدا كردن مسير زندگى مان بسيار كمك كرد. تازه از زندان مرخص شده بود چرا كه در دوران مشروطه شب نامه هاى سياسى را او مى نوشت. شب نامه هايى براى بيدارى مردم... پنج سال در زندان بود. دو سه سالى پيش او رفتيم و تا آنجا كه يادم هست، منزلش هم در ميدان بهارستان بود. »
منوچهر كوچك، سال نخست تحصيلى را در تهران و سال دوم و سوم را به سبب مأموريت پدر در شيراز مى گذراند. پدر در سيزده سالگى پسرك خردسال، فوت مى كند و از اين تاريخ است كه مسير زندگى او عوض مى شود، دست تقدير براى او پر از بازيهاى شگفت ا نگيز بوده است. سرپرستى او و خانواده را محمدعلى فروغى برعهده مى گيرد. آن هم در شرايطى كه موقعيت سياسى و اجتماعى ويژه اى داشته است، منوچهر وصال از محمدعلى فروغى به عنوان مردى اديب، سخندان و نويسنده ياد مى كند كه نخستين كتاب تاريخ فلسفه رادر ايران نيز او مى نويسد؛ كتاب معروف «سير حكمت در اروپا.» دايى ميانسال، به مدت هفت سال ، يار و مشاور و راهنماى منوچهر جوان است.
«دايى هاى من نقش مهمى نه تنها در زندگى من كه در پرورش فضاى آموزشى و تربيتى در ايران داشته اند. دايى ها و بخصوص، ابوالحسن فروغى اولين مجلات تربيتى، آموزشى ايران را داير كردند. مجله هاى فروغ تربيت و اصول تعليم. در آن نشريات، نخستين متن هاى ترجمه شده درباره آموزش و پرورش به چاپ رسيده است» . سال۱۳۱۱ او موفق به اخذ ديپلم مى شود و به دانشسراى عالى مى رود. يك سال بعد براى ادامه تحصيل به فرانسه عزيمت مى كند. در دانشسراى عالى، معلم فيزيك او كسى نيست بجز دكترمحمودحسابى. حسابى شوق يادگيرى علوم پايه را در او بيشترمى كند.
سال ۱۳۱۲ او به دانشگاه سوربن راه مى يابد و به تحصيل رياضى مشغول مى شود و درسال ۱۳۱۹ موفق به اخذ درجه دكترا در رياضى مى شود.
درخلال سالهاى پايان تحصيل در رصدخانه ژنو و زوريخ به كارورزى و فعاليت علمى نيز مى پردازد.
سال ۱۳۱۹ به ايران مراجعت مى كند و از ۱۳۲۰ به استخدام دانشگاه تهران درمى آيد. دكتر هشترودى معروفترين همكار او درآن سالهاست.
تمامى زندگى اين مرد درتحصيل رياضى و تدريس آن سپرى شده است.
با فروتنى مى گويد: «برايم قابل تصور نيست كه بشر بدون رياضى بتواند كارى كند.
رياضى پايه علوم است. حتى هنر نيز وامدار رياضى است، رياضى پايه موسيقى نيز هست. اگر بشر به درك و شناخت رياضى دست نمى يافت سنگ روى سنگ بنا نمى شد.»
سال ۱۳۲۶ ازدواج مى كند، ثمره ازدواج او سه دختر و دو پسر است كه هرپنج نفر فارغ التحصيل در رشته رياضى هستند.
سال ۱۳۳۱ منوچهر وصال كه مسؤول كتابخانه دانشكده فنى بوده است بورس تحصيل كتابدارى را كه ارمغان يونسكو است، دريافت مى كند و به مدت دو سال براى تحصيل كتابدارى به پاريس مى رود.

 

                                                

«درآنجا بسيار از كار و شغل من استقبال شد. «من يك دكتراى رياضى بودم كه براى تحصيل در يك دوره كوتاه در رشته اى ديگر جلاى وطن كرده بودم.»
به ايران بازمى گردد و در سال ۱۳۴۰ طى حكمى ازسوى دانشگاه شيراز، به آنجا كوچ مى كند و به عنوان استاد و معاون دانشگاه تا سال ۱۳۵۶ كه سال بازنشستگى اوست به كار ادامه مى دهد.
«پس از ورود به دانشگاه شيراز، دانشكده مهندسى اين دانشگاه را تأسيس كردم و رياست آن را بر عهده گرفتم.»
با يادآورى گذشته، مى كوشد خاطرات زمانى را كه اكنون از يادبرده، دوباره به چنگ بياورد.همسر و پسركوچكش نيز به او دراين امر يارى مى دهند. اما به قول خودش «چاره اى نيست.پيرى است و فراموشى!»
و ادامه مى دهد: «درست است كه پير شده ام اما نمى توانم حسى را كه الآن دارم بيان نكنم؛ از همه گذشته و از راهى كه رفته ام راضى ام. زياد نمى توانم راه بروم ولى راههاى زيادو عميقى هست كه بايد در درونم بروم. اى كاش مى دانستيد كه چقدر پيرى فوق العاده است!»
در سالهايى كه در شيراز بوده است دركنار تأسيس دانشكده فنى مشاور علمى و رئيس بخش علمى دانشگاه را نيز برعهده داشته و بالاترين مرجعى بوده كه درباره پژوهش و تحقيق و دروس تدريسى تصميم مى گرفته است وبالاخره منوچهر وصال پس از سى و شش سال تدريس در دانشگاههاى مختلف، اعلام بازنشستگى مى كند و تقاضاى او پذيرفته مى شود چرا كه حس مى كند كارهايش را انجام داده است.
شاگردان زيادى تربيت كرده و به قول قديمى ها آردها را ريخته و الكش را هم آويخته است!
بعد از بازنشستگى و در بحبوحه انقلاب فرهنگى، تا سال ۱۳۶۰ منوچهر وصال به هيچ كارى جز كتاب خواندن وپژوهشهاى رياضى شخصى مشغول نبوده است تا اينكه ازطرف مركز نشر دانشگاهى براى ويرايش كتابهاى رياضى دعوت به كارمى شود و پس از بيست و دو سال كه با سمت سرپرستى گروه رياضى و آمار دراين مركز، اشتغال داشته است. گويى براى باردوم بازنشسته مى شود.
سال ۱۳۸۲ دكترمنوچهر وصال كه ديگر پيرمردى ۹۱ ساله است از مركز نشر دانشگاهى خداحافظى مى كند و خانه نشين مى شود. او اكنون به خواندن آثار ادبى روى آورده است و آرام و متواضع، درخلوت خودخواسته اش زندگى مى كند.
«زندگى با همه تلاطم ها و فراز و فرودها، نقطه پايان هم دارد. همه بايد سرتسليم فرودبياورند.
اين قسمت و تقدير همه است، تقديرى كه خداوند آن را ساخته وپرداخته است. پيرى يعنى رضا و تسليم، اين است كه جوانها آن را نمى فهمند. در پيرى است كه انسان درمى يابد درست يا غلط، بايد همين مسيرى كه آمده را طى مى كرده و همه چيز درست و سرجاى خودش بوده است.»
منوچهر وصال راضى و خوشحال به گذشته مى نگرد. اما دل به آن نبسته است و مى گويد كه آرزومند زندگى در سالهاى بيشترى است چرا كه زندگى موهبتى بس عميق است، موهبتى كه رايگان در دسترس آدمى قرارمى گيرد.
«زندگى من زندگى زيبايى بود، چون با رياضى توأمان شد. اين رياضى را بايد جدى گرفت، رياضى يعنى راه و روش زندگى. يعنى تجزيه وتحليل. حاصلى كه از زندگى به دست آورديم و انتخاب درست ترين گزينه براى حركت، براى ادامه دادن، براى زيستن...»

پروفسور محسن هشترودی

آقای عباس صدوقی و استاد هشترودی ،دانشگاه ملی -سال 1353

دکتر هشترودی برای اینجانب ،یگانه آموزگار بود.او مصداق بارز کلام مولا علی (ع) بود که می فرماید:هرکس که به من کلامی بیاموزد، مرا برده خویش کرده است.دکتر هشترودی بارها گفته بود که :"اگر سنت جاریه اجازه دهد،می خواهم جسدم در دانشگاه دفن شود، تا استخوانهایم خاک نشین قدم جوانان این سرزمین گردد." از این جهت تنها کاری که برای حفظ نام آن یگانه دوران انجام دادم ،با تلاش بسیار توانستم اولین مجتمع فرهنگی آموزشی را به نام دکتر محسن هشترودی بنیاد نهاده و به ثبت رسانم.کوشش شبانه روزی خود و همکاران فرهنگی ام همواره این بوده و هست ، که فعالیت های آموزشی و فرهنگی این مجتمع را به نحوی هدایت و رهبری کنیم که در شأ ن آن استاد گرانقدر باشد.

                                                                                                                                                           عباس صدوقی

رواقيون

 

جمعى از فلاسفه‌اند كه كيش بت‌پرستى داشتند و در قرن سوم قبل از ميلاد مسيح پيدا شدند و به فريسيان شبيه بودند. مؤسس اين فلسفه ، زينو (زِنون) همواره در رواقى نشسته ايشان را تعليم ميداد. تعاليم اينان شبيه به تعاليم مذهب مسيح است، اما در بعضى موارد با مذهب مسيحيان مخالفت دارند، از آن جمله فضيلت ايشان مبنى بر عُجب و تكبر بود و حال آنكه مذهب مسيح به حلم و تواضع امر مى‌كند و نيز گويند كه نفس حكمت براى تصفيه و سعادتمند كردن انسان كافى است و مصيبتهاى اين جهان فقط شرور و نتايج اوهام غيرحقيقيه‌اند و شخص حكيم را نشايد كه از حزن متأثر شود و به فرح متوكل گردد و اينان در افعال و اعمال خود بسيار صابر و امين بودند. از مشاهير اين طريقه يكى اپكتتيس است كه در حدود سال 115 م. درگذشت و ديگرى مرقس اوريليوس امپراطور بود كه از سنهء 121 تا 180 م. مى‌زيست. پيروان اين فلسفه نسبت به ساير طوايف در اكتساب فضايل و آداب خود كمال حرص را داشتند و به وحدانيت خدا معتقد بوده آفرينش عالم را به واسطهء كلمهء كن و شمول عنايت الهى را بر جملهء كاينات مسلم ميداشتند. (از قاموس كتاب مقدس ذيل مادهء رواقيين).

همچنانكه اريستيپوس واسطهء ميان سقراط و ابيقور بوده كلبى‌ها هم واسطهء ميان آن مرد بزرگ و رواقيان بوده‌اند و اين جمله حكمت را تنها براى تعيين تكليف زندگانى و دستور اخلاقى ميدانستند و استفادهء علمى از آن نمى‌خواستند و بحث علت و معلول را به اندازه‌اى كه به اخلاق مدد مى‌رساند روا مى‌داشتند، حتى دربارهء رواقيان ميتوان گفت جمعيت ايشان جنبهء مذهبى بيشتر داشت تا فلسفى. در هر حال سرسلسلهء اين جماعت زينون(Zenon) نامى از اهل قبرس و از معاصران ابيقور بود و ديگرى از معتبرترين آنها خروسبس(Chrysipps) از مردم آسياى صغير كه شاگرد و جانشين زينون بوده است و آنان را رواقى از آن رو گفته‌اند كه حوزهء ايشان در يكى از رواقهاى شهر آتن منعقد مى‌شد. به عقيدهء رواقيان كلى يعنى آنچه افلاطون مثال و ارسطو صورت يا تصور مى‌خواند تنها در ذهن موجود است و ذهن انسان لوحى است ساده و معلومات او منحصراً از خارج به دست مى‌آيد يعنى بوسيلهء محسوسات كه در ذهن همچون نقش بر موم مى‌باشد. و فهم انسان چهار مرتبه دارد، وهم و گمان و ادراك و علم كه مرتبهء يقين است و اين چهار مرتبه را به اشاره بوسيلهء مشت باز و مشت نيم‌بسته و مشت بسته و مشتى كه در مشت ديگر قرار گرفته باشد نمودار ميكردند. كليهء رواقيان به منطق اهميت تمام ميدادند و بسيارى از اصطلاحها و فصل و بابهاى اين فن را آنها وضع و تنقيح كرده‌اند.

فلسفهء رواقيان نوعى از وحدت وجود(Pantheisme) است اما جسمانى نه روحانى، به اين معنى كه جز جسم وجودى قائل نيستند و معتقدند كه آن فاعل است يا منفعل. فاعل يعنى قوه (بمعنى قدرت نه به اصطلاح ارسطو) آن است كه در انسان روح يا نفس و در كليهء عالم پروردگار خوانده مى‌شود و منفعل آن است كه در انسان بدن و در عالم ماده مى‌نامند و اين دو امر يعنى قوه و ماده يا روح و بدن يا خدا و ماسوى كه حقيقت آنها واحد است با يكديگر مزج كلى دارند چنانكه وجود يكى در تمامى وجود ديگرى سارى است و انسان عالم صغير است و جهان عالم كبير. در باب حقيقت عالم از رأى هرقليطوس پيروى مى‌كنند كه اصل وجود را آتش مى‌دانست و آتش بدوى به هوا و آب و خاك تبديل يافت و دمى الهى دردميده شد و بنابراين هر فردى از موجودات از دم الهى بهره‌اى دارد و آن به قوه‌اى كه در او موجود است اجزاء عالم را نگاه ميدارد. مدار امر عالم بر ادوار است و عاقبت متلاشى مى‌گردد و رجوع به اصل يعنى آتش بدوى مى‌كند، پس از آن دور ديگر آغاز ميشود و كاملاً مانند دور سابق جريان مى‌يابد و آن نيز سرانجام متلاشى مى‌گردد و همچنين بينهايت. رواقيان جريان امور عالم را ضرورى ميدانند و جبرى‌مذهبند. در امور اخلاقى بيان ايشان از اين قرار است: انسان كه عالم صغير است و جسماً و روحاً پاره‌اى از عالم كبير مى‌باشد ناچار بايد از قوانين طبيعت پيروى كند و چون در عالم كبير طبيعت محكوم عقل كل است كه داخل وجود اوست انسان هم بايد عقل را حاكم بر اعمال خود بداند، پس عمل نيك و فضيلت آن است كه با عقل سازگار باشد و بنابراين انسان بايد نفسانيات را كه از حكم عقل منحرف ميشوند از خود دور كند و سكون خاطر را رها نكرده تأثر به خود راه ندهد و اگر چنين كرد و نفس را مغلوب عقل نمود فاعل مختار خواهد بود زيرا جز آنچه عقل حكم مى‌كند آرزو نخواهد بود و هرچه آرزو كند به آن خواهد رسيد. پس امور خارجى در آزادى و اختيار و خوشى و سعادت انسان تأثيرى ندارد و خوشى امرى درونى است يعنى به خرسندى خاطر است و هرچه خود را از علائق بيشتر رهايى دهد وارسته‌تر خواهد بود و اهتمام در وارستگى و آزادى چنان براى انسان واجب است كه جهت استخلاص از قيود و ناملايمات به خودكشى هم اگر محتاج شود باك نيست و از رواقيان كسانى كه رشتهء حيات خويش را به اختيار قطع كرده‌اند متعدد هستند.

فضايل از نظر رواقيان: فضيلت مقصود بالذات و غايت او خود اوست و آن در واقع يكى بيش نيست، يعنى حكمت يا شيوهء عقلايى كه جنبه‌هاى مختلف دارد، مثلاً اگر از حيث ترس و بى‌باكى ملحوظ شود دليرى نام مى‌گيرد و اگر نسبت به تمتعات در نظر بگيرند خوددارى خوانده ميشود و هرگاه در تعيين حصه‌ها و حقوق مردم منظور گردد دادگرى خواهد بود و نظر به اينكه فضايل همه از يك منشأ مى‌باشند هر كس داراى يكى از آنها باشد جامع همهء فضايل است و اگر فاقد باشد جامع رذايل خواهد بود. چون رواقيان اصول مذكور در فوق را در زندگانى مدار عمل قرار مى‌دادند و جز تقيد به پيروى از طبيعت و عقل هيچ امر ديگر را قابل اعتبار و اعتنا و انديشه نمى‌دانستند در نزد مردم به نخوت و بيقيدى و عدم عاطفه و درويشى و قناعت و بردبارى و خوددارى معروف گشته و از اين جهات ضرب‌المثل شده‌اند. اختلاف اقوام و ملل را هم قائل نبودند و همهء مردم را متساوى دانسته فرزند جهان مى‌خواندند و بنده گرفتن را جايز نمى‌شمردند. (نقل از سير حكمت در اروپا تأليف محمدعلى فروغى).

در كتاب تاريخ علم تأليف جرج سارتون و ترجمهء احمد آرام چنين آمده است: نمى‌توان گفت تاريخ پيدا شدن مذهب رواقى در چه زمان بوده، زيرا نمى‌دانيم مؤسس اين مكتب يعنى زنون چه وقت بدنيا آمده است، چون نزديكترين تاريخ تولدى كه براى وى گفته‌اند يعنى سال 336 ق . م. را در نظر بگيريم آن گاه بايد گفت كه مذهب رواقى بسختى مى‌تواند از محصولات اين قرن باشد و اگر هم باشد به سالهاى اخير آن مربوط مى‌شود، ولى اين تاريخ را تا سال 348 و حتى 356 نيز بالا برده‌اند و زنون به اين ترتيب از معاصران سالخورده‌تر اپيكوروس (ابيقور) بشمار مى‌رود. زنون تدريس خود را در آتن در تالار يا رواقى آغاز كرد كه آنرا تالار منقش يا ستوآ ( (He stoa he poicile مى‌ناميدند، چه در اواسط قرن پنجم ق . م. بوسيلهء پولوگنوتوس ثاسوسى Polygnotus of Thasos)) «مخترع نقاشى» نقاشى شده بود.

آن تالار را شاعران براى محل اجتماع خود انتخاب مى‌كردند و احتمال دارد كه درهاى آن بر روى كسانى كه ميخواستند در آنجا گرد يكديگر جمع شوند باز بوده باشد. چون زنون در آنجا به تدريس پرداخت مدرسهء او را رواق(Stoa) و پيروان او را رواقيان(Stoics) ناميده‌اند. بدشوارى مى‌توان در فلسفهء رواقى آنچه را منتسب به مؤسس آن است از آنچه بوسيلهء كلئانتس( Cleanthes) و ديگر پيروان زنون بر آن افزوده شد جدا كرد. بدون شك زنون اصول عقايد اين فلسفه را وضع و تشريح كرد و با گذشت زمان تغييراتى بر اين اصول وارد شد كه چندان مهم نبوده است. زنون فلسفه را به سه قسمت اساسى تقسيم مى‌كرد: فيزيك و اخلاق و منطق. فيزيك شالودهء معرفت است. منطق او از انتيستنس و ديودوروس كرونوس گرفته شده يعنى مطابق نمونهء كلبى و مگارايى است ولى خود زنون نيز شخصاً در جهات مختلف چيزهايى بر آن افزوده است. مثلاً در منطق او توجه بيشترى به مطالب صرف و نحوى شده است و صرف و نحو يونانى را مى‌توان تا حد زيادى از مخترعات زنون دانست. شاخه‌هاى ديگر منطق عبارت بود از معانى و بيان و جدل (ديالكتيك). معرفت‌شناسى يا بحث در امور عامهء( Epistemology)رواقيان نيز از ابتكارات خود ايشان است. به عقيدهء آنان معرفت از راه ادراكات حسى فراهم ميشود، با وجود اين بايد به اين گونه ادراكات با احتياط نظر كنند و چنان نباشدكه انسان هنگام استفاده از آنهادچاراوهام وخيالبافيها

( Fantaseis) شود. فيزيك رواقى مخلوطى از ماديگرى و وحدت وجود بود. رواقيان معتقد به وجود نيرو يا كششى بودند كه همه جا با ماده همراه است و همين كشش را سبب جزر و مد جهان مى‌دانستند. اين گروه نيز مانند پيروان اپيكوروس دچار تناقضات و ابهاماتى بودند، چه مانند ايشان به روحى اعتقاد داشتند كه مادى است و از ماده‌اى ظريفتر و لطيفتر از بدن ساخته شده است و نفوس در نظر ايشان جسمانى بود نه روحانى. بيشتر توجه ايشان معطوف به اخلاق بود و انديشهء سقراط را كه مى‌گفت فضيلت همان معرفت است، رواقيان به صورت كاملترى درآورده بودند: معرفت حقيقى آن است كه آدمى موافق با عقل يا طبيعت زيست كند، و اين خود مستلزم آشنايى و معرفت كامل طبيعت است (علم فيزيك، علم الهى). معرفت علمى خالص ايشان بيشتر از آنكه رنگ ارسطويى داشته باشد رنگ افلاطونى داشت، و بهمين جهت چندان روشن و خالص نبود. مثلاً اينكه افلاطون جهان كبير را متوازى با جهان صغير مى‌دانست، سبب اين اشتباه آنان شده بود كه براى خبرگيرى از غيب اهميت فراوان قائل شوند. در اين خصوص ايشان تابع سنن قديمى يونان بودند و به اين ترتيب خود را در درجهء پست‌تر از پيروان اپيكوروس قرار داده‌اند.

رواقيان ذره‌بينى را قبول نداشتند ولى جهانى كه به تصور ايشان مى‌رسيد كمتر از جهان ذره جنبهء مادى نداشت. هر چيز از چهار عنصر ساخته شده كه ترتيب آنها برحسب ازدياد درجهء لطافت چنين است: خاك، آب، هوا، آتش. خدا و عقل نيز مادى است، خواه عقل جهانى و خواه عقل فردى كه شبيه است به جزئى كه از خدا جدا شده باشد. اين عقل را نوعى از نفس و دم گرم مى‌دانستند. روح و نفس از آتش ساخته شده و در پايان دورهء جهان يك حريق جهانى( Ecpyrosis) همهء اين ارواح را به آتش الهى بازمى‌گرداند و پس از آن آفرينش جديدى( Palingenesia) امكان‌پذير مى‌شود. با وجود اين بايد دانست كه اين مطالب از مخترعات رواقيان متأخر است و نبايد آنها را متعلق به زمانهاى دورتر دانست. نكتهء مهمى كه در اين فلسفه از زمان زنون به بعد وجود داشته اين است كه جهان از ماده و عقل ساخته شده است و خود عقل و ماده دو جلوهء مختلف از حقيقت واحدى هستند، نه عقل بدون ماده وجود پيدا مى‌كند و نه ماده بدون عقل. بعبارت ديگر خدا تنها نيرويى است كه در همه جا نفوذ و جريان دارد، با وجود اين، نيرو و قوه را نميتوان از باقى جهان جدا كرد. بطور خلاصه بايد گفت كه مذهب رواقى كمتر از مذهب اپيكوروس جنبهء مادى نداشته، منتها جنبهء عقلى آن كمتر بوده است. اوج فلسفهء رواقى و افتخار ابدى آن در مورد امور اخلاقى است، خير اساسى تقوى و فضيلت است و فضيلت يعنى اينكه آدمى مطابق با عقل يا طبيعت زيست كند. صاحب فضيلت بودن خير منحصر به فرد و صاحب فضيلت نبودن شر منحصر به فرد است. هر چيز ديگر جز آن، از درويشى و بيمارى و رنج و مرگ قابل‌اعتنا نيست. مرد خوبى كه كسى نتواند تقوى و فضيلت را از وى بازستاند شكست‌ناپذير است. چون چنين شخصى به خود رجوع كند و به اين نكته متوجه شود كه اغلب بدبختيها از تصور و اعتقاد است، همين اعتقاد سبب آن مى‌شود كه به خود متكى باشد و منفعل نشود و از درد و رنج آزاد بماند. اين سكوت و سكون شبيه همان است كه اپيكوروسيان (ابيقوريان) داشته‌اند، منتها جنبهء انفعالى آن كمتر و نيرومندى آن بيشتر است (يا در زمان روميان چنين شده). تنها كافى نيست كه شخص تحمل و بردبارى نشان دهد بلكه شجاع نيز بايد باشد. يكى از لوازم مذهب رواقى آن بود كه مرد حكيم ناچار بايد تحصيل معرفت كند، چه براى آنكه كسى بتواند بر وفق طبيعت زندگى كند، لازم است كه جهان را بفهمد و بشناسد. ولى متأسفانه بيشتر رواقيان به علم و معرفت مختصرى دربارهء طبيعت قناعت مى‌كردند و فاقد حس كنجكاوى علمى بودند. فلسفهء رواقى دل را ترقى مى‌داد ولى حدت ذهن و فكر را سبب نمى‌شد. رواقيان به مشيت( Pronoia) قائل بودند ولى چنان مى‌پنداشتند كه راههاى مشيت را از طريق توسل به غيب( Manteia) مى‌توان پيدا كرد و اين خود نمونهء برجسته‌اى از تناقضات موجود در آن فلسفه است كه از فقدان دقت علمى و از تسليم شدن به احساسات و عواطفى كه بنابر سنن و تقاليد به آنان رسيده بود، نتيجه شده است. كتاب «سياست»( Politeia) از آثار گمشدهء زنون است و بنا به گفتهء پلوتارك اين كتاب را در جواب كتاب «جمهوريت» افلاطون نوشته بود. بنابراين بايد گفت كه رواقيان به سياست توجه داشته‌اند و از اين حيث بر پيروان اپيكوروس تفوق دارند، چه آنان با سكون و آرامش خود از سياست دورى كردند. مرد رواقى چنان مى‌پنداشت كه وظيفهء وى آن است كه در بلند كردن بار سياست سهم خود را ادا كند، و همين مطلب است كه معلوم مى‌دارد چرا فلسفهء رواقى در قانونگزارى و اصول ادارهء امپراتورى روم موفقيت پيدا كرده است. اصلى‌ترين و عالى‌ترين جنبهء اخلاق و سياست رواقى احساس اشتراك و همكارى است كه نه تنها بايد در مورد اهل ميهن و كشور انجام شود، بلكه بايد با تمام مردم جهان چنين باشد. در تحت تأثير انقلاب شگفت‌انگيزى كه با جهانگشايى اسكندر پيش آمده بود، اين مردم توانستند از زير بار يكى از نيرومندترين سنتهاى يونان شانه تهى كنند و روح شهر مركزى دوران هلنى را كنار  بگذارند.  رواقيان را بايد از  لحاظ  تاريخ  نخستين مردم  معتقد به  «جهان‌وطنى»

(Cosmopolitanism)دانست. اين عقيده وحدت نوع بشر يكى از منابع قانون رومى «حقوق اشخاص»(Jusgentium) است كه قاموس ملتها و قانون طبيعت بشمار مى‌رود. (نقل به اختصار از تاريخ علم تأليف جرج سارتن ترجمهء احمد آرام).

گفتگو با استاد شهریاری

دکتر پرویز شهریاری، پدر علم ریاضیات در ایران که تا کنون بیش از دویست عنوان کتاب در حوزه ریاضیات محض، ریاضی، تاریخ ریاضی، فلسفه ریاضی و... نوشته است، معتقد است:«اگر جوانان امروز به دروس ریاضیات و تاریخ توجهی نمی کنند، فقط به سیستم آموزشی بر می گردد».دکتر پرویز شهریاری هم اکنون در حال تالیف دو کتاب درباره زنان و ریاضیات و تاریخ ریاضیات در ایران و جهان است. ما با دکتر پرویز شهریاری، نویسنده و مترجم کتاب های«اوالیست گالوا»،«من ریاضی دانم»،«تاریخ ریاضیات»، «سرگذشت ریاضیات»،«اخلاق و فلسفه در ریاضیات» درباره افت تحصیلی و علمی دانشجویان ریاضی و ارتباط آن با فلسفه، گفت و گوی کوتاهی انجام داده ایم که می خوانید.

 

پرسش:شما سال ها به عنوان پیشکسوت در علم ریاضیات نو، در دانشگاه های تهران، تدریس کرده اید، در زمانی که شما دانشجوی این رشته در دانشگاه تهران بودید، استقبال از رشته تحصیلی ریاضی چگونه بود؟

 پاسخ:علم و رشته تحصیلی ریاضی در همه جای دنیا متقاضیان و علاقمندان محدود و مخصوص به خود دارد. طبیعی است که علاقمندان این رشته به اندازه علاقمندان رشته هایی مثل علوم انسانی نیست. اما در زمان ما به خاطر اینکه هنوز کنکور تستی نشده بود، دانشجویان و علاقمندان این رشته به صورت مفهومی با هر درسی و هر علمی بر خورد می کردند. از جمله با ریاضیات. اگر کسی به رشته ریاضیات علاقمند بود، طبعا باید این رشتته را می فهمید و فهم ریاضیات ارتباط بسیار مستقیمی با تاریخ ریاضیات و فلسفه دارد. بخصوص در دو قرن اخیر که ارتباط فلسفه با ریاضیات به صورت مستقیم شده است. اساسا درزمان شکل گیری علوم در یونان باستان، همه علوم با فلسفه ارتباطی داشتند. همین طور ریشه همه علوم به ریاضیات وابسته است.

 

پرسش: کنکور با توجه به تعداد بالای متقاضیان کنکور، به شکل دیگری ممکن است؟

پاسخ:کنکور باید مانند سال های قبل سوال و جوابی باشد. یعنی روشی که تا پیش از تست در ایران، رایج بود. این روش کمک می کند که جوان ایارنی همه چیز را به صورت تحلیلی و مفهومی یاد بگیرد. این روش البته دشوار تر است اما اساسی تر و علمی تر است. با این روش کسانی وارد دانشگاه می شوند که واقعا با مفاهیم سر و کار دارند و می دانند که از رشته تحصیلی خود چه می خواهند. من اساسا با کنکور مخالف هستم چون دانشجو و دانش آموز را تنبل و آسان خوان بار می آورد. بچه ها درست در سنینی که باید و مایلند که درس بخوانند و با دروس و علوم به صورت مفهومی کار کنند، ما به وسیله کنکور به آنها می فهمانیم که نیازی نیست، به صورت عمیق، تحلیلی و مفهومی علوم را یاد بگیری. ما با کنکور به آنها می فهمانیم که یکسری فاکتور ها را حفظ کن و قبول شو. این روش روش غلطی است. اتفاقا بر خلاف نظریاتی که امروزه در سطح مدارس و دانشگاه ها رایج است، ریاضیات علمی است که حتما باید آن را به صورت مفهومی یاد گرفت. من از دانشگاهیان امروز می پرسم که جای درس یا واحد درسی «تاریخ ریاضیات» کجا است؟ آنها می گویند که باید در تاریخ عمومی این درس را خواند. البته در تاریخ عمومی هم واحد درسی به اسم تاریخ ریاضیات وجود ندارد. فقط اخیرا شنیده ام که در دانشگاه صنعتی شریف، در واحدهای درسی کوچکی به این درس پرداخته می شود. در حالی که دانشجو تا تاریخ ریاضیات و ارتباط ریاضیات با فلسفه را نداند، اصلا ریاضیات را به صورت عمیق و مفهومی نمی فهمد.

 

پرسش :بنا بر این شما هم معتقدید که باید در رشته تحصیلی ریاضیات، دروس فلسفه هم باشد؟

پاسخ:بله. ولی متاسفانه اینطور نیست و به فلسفه اهمیت داده نمی شود در حالی که اصلا در یونان باستان که مهد فلسفه است، فیلسوفان حتی پیش از سقراط و ارسو، با ریاضیات سر کار داشتند. ریاضیات پایه همه علوم است من جمله فلسفه. بخصوص در دو قرن اخیر که فلسفه بر اساس استدلال های علمی و از جمله ریاضیات، پایه ریزی شده. به همین مناسبت نمی شود فلسفه آموخت بی آنکه ریاضیات را آموخت و نمی شود ریاضیات یاد گرفت بی آنکه فلسفه را آموخت.

 

پرسش:شما به عنوان پیشکسوت این علم، بارها این نکته را در سخنرانی ها و محافل، اعلام کرده اید اما متاسفانه توجهی نشده است. علت این بی توجهی را چه می دانید؟

:پاسخنمی دانم. اما قطعا به این مسئله باز می گردد که مسئولان به اصلاح سیستم آموزشی و بهبود سطح علمی جوانان بی علاقه هستند. در ضمن آنها اصولا علاقه ای به تغییرات ندارند. همان سیستمی که چند دهه است انجام می دهند و ادامه می دهند و بهانه شان هم این است که سالانه ده ها هزار نفر متقاضی کنکور هستند و سیستم سوال و جواب، به جای تست نمی تواند پاسخگوی این همه متقاضی باشد. اما سوال من این است که آیا این استدلال به بهای این که سطح علمی جوانان ایران و در نتیجه سطح علمی کشور، هر سال پایین تر و پایین تر شود، می ارزد؟

 

نگاهی اجمالی به رمز نگاری

مقدمه و تاریخچه

هر کدام از ما وقتی به دنیای ماموران مخفی و جاسوسان فکر می کنیم چیز های زیادی به ذهنمان می رسد: سفرهای خارجی، ماموریت های خطرناک، اسلحه های عجیب و ماشین های سریع. کمتر کسی در کنار این چیزها به ریاضیات فکر می کند. اما باید بدانیم ریاضیات در فهمیدن پیامهای سری و شکستن رمزها نقش اساسی بازی می کند و در طول تاریخ ریاضیدان ها نتیجه نبردهای فراوانی را با شکستن رمزها تغییر داده اند.
نمیدانم فیلم "ذهن زیبا" را دیده اید یا نه؟ این فیلم که زندگی واقعی یک ریاضیدان به نام جان نش را به تصویر می کشد
این ریاضیدان ابتدا برای شکستن کدها ی سری به استخدام سازمان سیا در می آید . ولی پس از مدتی به بیماری شیزوفرنی دچار میشود. ولی پس از مدتها بیماری دوباره به صحنه علم برمیگردد و جایزه نوبل اقتصاد را دریافت میکند.
همین چند خط در مورد این ریاضیدان کاربردهای وسیع این علم در علوم مختلف از جمله در زمینه کشف کدها و رمزها آشکار میکند.
امروزه در کشور ما نیز دوره دکترای رمزنگاری که از شاخه های رشته ریاضی کاربردی میباشد برگزار میشود.

شروع و توسعه رمزنگاری

اولین بار سزار امپراتور رم باستان برای آنکه بتواند بدون اطلاع دشمن با ا ارتشش در سراسر دنیا در ارتباط باشد نوعی رمز را بکار گرفت. این رمز به این شکل بود که برای فرستادن یک پیام جای هر حرف را با سومین حرف بعد از آن در الفبا عوض می کردند، مثلا به جای 'A' حرف 'D' و به جای 'X' حرف 'A' را می گذاشتند.

بنابراین برای از کد خارج کردن پیام ها کافی بود دریافت کننده جای هر حرف را با سومین حرف بعد از آن در الفبا عوض کند. مثلا سعی کنید این پیغام سزاری را از رمز خارج کنید:

hqhpb dssurdfklqj
wkluwb ghdg
uhwuhdw wr iruhvw

خب، ممکن است بپرسید چه ریاضیاتی در کار است. ریاضی وقتی وارد ماجرا می شود که به هر حرف یک عدد نسبت دهیم. در این صورت فرایند کد کردن مثل اضافه کردن عدد 3 به عدد اولیه خواهد بود

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

مثلا برای به رمز درآوردن 'A' : داریم 0+3=3
برای اینکه در مورد حرف های نزدیک به پایان الفبا دچار مشکل نشویم بهتر است به جای جمع معمولی از جمع به پیمانه 26 استفاده کنیم، یعنی به جای هر عدد از باقیمانده تقسیم آن عدد بر 26 استفاده کنیم.

مثلا برای 'X' داریم: (به پیمانه 26) 23+3=26=0

 

مثلا برای 'Y' داریم: (به پیمانه 26) 24+3=27=1

 

مثلا برای 'T' داریم: (به پیمانه 26) 19+3=21=21

برای از رمز درآوردن هم می توانیم از تفریق به پیمانه 26 استفاده کنیم. واضح است که می توانیم به جای انتقال 3 تایی از هر انتقالی بین 1 و 25 استفاده کنیم، اما همانطور که احتمالا حدس زده اید شکستن این رمز خیلی ساده است یعنی یک جاسوس می تواند با امتحان کردن همه 25 انتقال ممکن به سرعت رمز را بشکند.

با روشی که توضیح دادیم این نوشته را از رمز در آورید: RFYM KTW FQQ

حالا به سراغ یک روش پیچیده تر می رویم. فرض کنید به ازای هر حرف الفبا یک علامت جایگزین کنیم، مثلا '*' به جای 'A' و '+' به جای 'B'. مثل رمزی که ماری ملکه اسکاتلند برای مکاتباتش بر علیه الیزابت اول ملکه انگلیس بکار می گرفت .
تا مدت ها مردم فکر می کردند شکستن این رمز ناممکن است تا اینکه سرو کله آمار ریاضی پیدا شد

نموداری که می بینید فراوانی حروف الفبا را در زبان انگلیسی نشان میدهد.

این اطلاعات از شمارش حروف مختلف در حجم زیادی از نوشته ها مثل کتاب ها و روزنامه ها بدست آمده است. این نمودار مثلا نشان می دهد به طور میانگین 13.5 درصد از حروف بکار رفته در متن های انگلیسی E هستند، که فراوان ترین حرف الفبا است. بنابراین وقتی رمزی از نوع بالا داریم احتمالا علامتی که بیش از همه تکرار می شود علامت متناظر E است و فراوانترین علامت بعد از آن متناظر 'T' است. سرنخ های دیگری هم وجود دارد مثلا تنها دو کلمه یک حرفی در انگلیسی وجود دارد: 'I' و 'A' و همچنین 'AND' و 'THE' کلمات خیلی معمولی هستند با کمک این سرنخ ها و کمی آزمایش و خطا میتوان اینگونه رمزها را شکست.همین روش باعث شد که ماری سرش را از دست بدهد.

 

 معرفی و اصطلاحات رمز نگاری از زاویه دیگر

رمزنگاری علم کدها و رمزهاست. یک هنر قدیمی است و برای قرنها بمنظور محافظت از پیغامهایی که بین فرماندهان، جاسوسان،‌ عشاق و دیگران ردوبدل می‌شده، استفاده شده است تا پیغامهای آنها محرمانه بماند.

هنگامی که با امنیت دیتا سروکار داریم، نیاز به اثبات هویت فرستنده و گیرنده پیغام داریم و در ضمن باید از عدم تغییر محتوای پیغام مطمئن شویم. این سه موضوع یعنی محرمانگی، تصدیق هویت و جامعیت در قلب امنیت ارتباطات دیتای مدرن قرار دارند و می‌توانند از رمزنگاری استفاده کنند.

اغلب این مساله باید تضمین شود که یک پیغام فقط میتواند توسط کسانی خوانده شود که پیغام برای آنها ارسال شده است و دیگران این اجازه را ندارند. روشی که تامین کننده این مساله باشد "رمزنگاری" نام دارد. رمزنگاری هنر نوشتن بصورت رمز است بطوریکه هیچکس بغیر از دریافت کننده موردنظر نتواند محتوای پیغام را بخواند.

رمزنگاری مخفف‌ها و اصطلاحات مخصوص به خود را دارد. برای درک عمیق‌تر به مقداری از دانش ریاضیات نیاز است. برای محافظت از دیتای اصلی ( که بعنوان plaintext شناخته می‌شود)، آنرا با استفاده از یک کلید (رشته‌ای محدود از بیتها) بصورت رمز در می‌آوریم تا کسی که دیتای حاصله را می‌خواند قادر به درک آن نباشد. دیتای رمزشده (که بعنوان ciphertext شناخته می‌شود) بصورت یک سری بی‌معنی از بیتها بدون داشتن رابطه مشخصی با دیتای اصلی بنظر می‌رسد. برای حصول متن اولیه دریافت‌کننده آنرا رمزگشایی می‌کند. یک شخص ثالت (مثلا یک هکر) می‌تواند برای اینکه بدون دانستن کلید به دیتای اصلی دست یابد، کشف رمز‌نوشته (cryptanalysis) کند. بخاطرداشتن وجود این شخص ثالث بسیار مهم است.

رمزنگاری دو جزء اصلی دارد، یک الگوریتم و یک کلید. الگوریتم یک مبدل یا فرمول ریاضی است. تعداد کمی الگوریتم قدرتمند وجود دارد که بیشتر آنها بعنوان استانداردها یا مقالات ریاضی منتشر شده‌اند. کلید، یک رشته از ارقام دودویی (صفر و یک) است که بخودی‌خود بی‌معنی است. رمزنگاری مدرن فرض می‌کند که الگوریتم شناخته شده است یا می‌تواند کشف شود. کلید است که باید مخفی نگاه داشته شود و کلید است که در هر مرحله پیاده‌سازی تغییر می‌کند. رمزگشایی ممکن است از همان جفت الگوریتم و کلید یا جفت متفاوتی استفاده کند.

دیتای اولیه اغلب قبل از رمزشدن بازچینی می‌شود؛  این عمل عموما بعنوان scrambling شناخته می‌شود. بصورت مشخص‌تر، hash functionها بلوکی از دیتا را (که می‌تواند هر اندازه‌ای داشته باشد) به طول از پیش مشخص‌شده کاهش می‌دهد. البته دیتای اولیه نمی‌تواند از hashed value بازسازی شود. Hash functionها اغلب بعنوان بخشی از یک سیستم تایید هویت مورد نیاز هستند؛ خلاصه‌ای از پیام (شامل مهم‌ترین قسمتها مانند شماره پیام، تاریخ و ساعت، و نواحی مهم دیتا) قبل از رمزنگاری خود پیام، ساخته ‌و hash می‌شود.

یک چک تایید پیام (Message Authentication Check) یا MAC یک الگوریتم ثابت با تولید یک امضاء برروی پیام با استفاده از یک کلید متقارن است. هدف آن نشان دادن این مطلب است که پیام بین ارسال و دریافت تغییر نکرده است. هنگامی که رمزنگاری توسط کلید عمومی برای تایید هویت فرستنده پیام استفاده می‌شود، منجر به ایجاد امضای دیجیتال (digital signature) می‌شود.

 

۲- الگوریتم‌ها

طراحی الگوریتمهای رمزنگاری مقوله‌ای برای متخصصان ریاضی است. طراحان سیستمهایی که در آنها از رمزنگاری استفاده می‌شود، باید از نقاط قوت و ضعف الگوریتمهای موجود مطلع باشند و برای تعیین الگوریتم مناسب قدرت تصمیم‌گیری داشته باشند. اگرچه رمزنگاری از اولین کارهای شانون (Shannon) در اواخر دهه ۴۰ و اوایل دهه ۵۰ بشدت پیشرفت کرده است، اما کشف رمز نیز پابه‌پای رمزنگاری به پیش آمده است و الگوریتمهای کمی هنوز با گذشت زمان ارزش خود را حفظ کرده‌اند. بنابراین تعداد الگوریتمهای استفاده شده در سیستمهای کامپیوتری عملی و در سیستمهای برپایه کارت هوشمند بسیار کم است.

 

۱-۲ سیستمهای کلید متقارن

یک الگوریتم متقارن از یک کلید برای رمزنگاری و رمزگشایی استفاده می‌کند. بیشترین شکل استفاده از رمزنگاری که در کارتهای هوشمند و البته در بیشتر سیستمهای امنیت اطلاعات وجود دارد data encryption algorithm یا DEA  است که بیشتر بعنوان DES‌ شناخته می‌شود. DES یک محصول دولت ایالات متحده است که امروزه بطور وسیعی بعنوان یک استاندارد بین‌المللی شناخته ‌می‌شود. بلوکهای ۶۴بیتی دیتا توسط یک کلید تنها که معمولا ۵۶بیت طول دارد، رمزنگاری و رمزگشایی می‌شوند. DES‌ از نظر محاسباتی ساده است و براحتی می‌تواند توسط پردازنده‌های کند (بخصوص آنهایی که در کارتهای هوشمند وجود دارند) انجام گیرد.

این روش بستگی به مخفی‌بودن کلید دارد. بنابراین برای استفاده در دو موقعیت مناسب است: هنگامی که کلیدها می‌توانند به یک روش قابل اعتماد و امن توزیع و ذخیره شوند یا جایی که کلید بین دو سیستم مبادله می‌شوند که قبلا هویت یکدیگر را تایید کرده‌اند عمر کلیدها بیشتر از مدت تراکنش طول نمی‌کشد. رمزنگاری DES عموما برای حفاظت دیتا از شنود در طول انتقال استفاده می‌شود.

کلیدهای DES ۴۰بیتی امروزه در عرض چندین ساعت توسط کامپیوترهای معمولی شکسته می‌شوند و بنابراین نباید برای محافظت از اطلاعات مهم و با مدت طولانی اعتبار استفاده شود. کلید ۵۶بیتی عموما توسط سخت‌افزار یا شبکه‌های بخصوصی شکسته می‌شوند. رمزنگاری DESسه‌تایی عبارتست از کدکردن دیتای اصلی با استفاده از الگوریتم DES‌ که در سه مرتبه انجام می‌گیرد. (دو مرتبه با استفاده از یک کلید به سمت جلو (رمزنگاری)  و یک مرتبه به سمت عقب (رمزگشایی) با یک کلید دیگر) مطابق شکل زیر:

 

 این عمل تاثیر دوبرابر کردن طول مؤثر کلید را دارد؛ بعدا خواهیم دید که این یک عامل مهم در قدرت رمزکنندگی است.

الگوریتمهای استاندارد جدیدتر مختلفی پیشنهاد شده‌اند. الگوریتمهایی مانند Blowfish و IDEA برای زمانی مورد استفاده قرار گرفته‌اند اما هیچکدام پیاده‌سازی سخت‌افزاری نشدند بنابراین بعنوان رقیبی برای DES  برای استفاده در کاربردهای میکروکنترلی مطرح نبوده‌اند. پروژه استاندارد رمزنگاری پیشرفته دولتی ایالات متحده (AES) الگوریتم Rijndael را برای جایگزیتی DES بعنوان الگوریتم رمزنگاری اولیه انتخاب کرده است. الگوریتم Twofish مشخصا برای پیاده‌سازی در پردازنده‌های توان‌ـ‌پایین مثلا در کارتهای هوشمند طراحی شد.

در ۱۹۹۸ وزارت دفاع ایالات متحده تصمیم گرفت که الگوریتمها Skipjack و مبادله کلید را که در کارتهای Fortezza استفاده شده بود، از محرمانگی خارج سازد. یکی از دلایل این امر تشویق برای پیاده‌سازی بیشتر کارتهای هوشمند برپایه این الگوریتمها بود.

برای رمزنگاری جریانی (streaming encryption) (که رمزنگاری دیتا در حین ارسال صورت می‌گیرد بجای اینکه دیتای کدشده در یک فایل مجزا قرار گیرد) الگوریتم RC4‌ سرعت بالا و دامنه‌ای از طول کلیدها از ۴۰ تا ۲۵۶ بیت فراهم می‌کند. RC4 که متعلق به امنیت دیتای RSA‌ است، بصورت عادی برای رمزنگاری ارتباطات دوطرفه امن در اینترنت استفاده می‌شود.

 

۲-۲ سیستمهای کلید نامتقارن

سیستمهای کلید نامتقارن از کلید مختلفی برای رمزنگاری و رمزگشایی استفاده می‌کنند. بسیاری از سیستمها اجازه می‌دهند که یک جزء (کلید عمومی یا public key) منتشر شود در حالیکه دیگری (کلید اختصاصی یا private key) توسط صاحبش حفظ شود. فرستنده پیام، متن را با کلید عمومی گیرنده کد می‌کند و گیرنده آن را با کلید اختصاصی خودش رمزنگاری میکند. بعبارتی تنها با کلید اختصاصی گیرنده می‌توان متن کد شده را به متن اولیه صحیح تبدیل کرد. یعنی حتی فرستنده نیز اگرچه از محتوای اصلی پیام مطلع است اما نمی‌تواند از متن کدشده به متن اصلی دست یابد، بنابراین پیام کدشده برای هرگیرنده‌ای بجز گیرنده مورد نظر فرستنده بی‌معنی خواهد بود. معمولترین سیستم نامتقارن بعنوان RSA‌ شناخته می‌شود (حروف اول پدیدآورندگان آن یعنی Rivest ، Shamir و Adlemen است). اگرچه چندین طرح دیگر وجود دارند. می‌توان از یک سیستم نامتقارن برای نشاندادن اینکه فرستنده پیام همان شخصی است که ادعا می‌کند استفاده کرد که این عمل اصطلاحا امضاء نام دارد.  RSA شامل دو تبدیل است که هرکدام احتیاج به بتوان‌رسانی ماجولار با توانهای خیلی طولانی دارد:

·         امضاء، متن اصلی را با استفاده از کلید اختصاصی رمز می‌کند؛

·         رمزگشایی عملیات مشابه‌ای روی متن رمزشده اما با استفاده از کلید عمومی است. برای تایید امضاء بررسی می‌کنیم که آیا این نتیجه با دیتای اولیه یکسان است؛ اگر اینگونه است، امضاء توسط کلید اختصاصی متناظر رمزشده است.

به بیان ساده‌تر چنانچه متنی از شخصی برای دیگران منتشر شود، این متن شامل متن اصلی و همان متن اما رمز شده توسط کلید اختصاصی همان شخص است. حال اگر متن رمزشده توسط کلید عمومی آن شخص که شما از آن مطلعید رمزگشایی شود، مطابقت متن حاصل و متن اصلی نشاندهنده صحت فرد فرستنده آن است، به این ترتیب امضای فرد تصدیق می‌شود. افرادی که از کلید اختصاصی این فرد اطلاع ندارند قادر به ایجاد متن رمز‌شده‌ نیستند بطوریکه با رمزگشایی توسط کلید عمومی این فرد به متن اولیه تبدیل شود.

اساس سیستم RSA  این فرمول است: X = Y^k (mod r)

که X متن کد شده، Y متن اصلی، k کلید اختصاصی و r حاصلضرب دو عدد اولیه بزرگ است که با دقت انتخاب شده‌اند. برای اطلاع از جزئیات بیشتر می‌توان به مراجعی که در این زمینه وجود دارد رجوع کرد. این شکل محاسبات روی پردازنده‌های بایتی بخصوص روی ۸ بیتی‌ها که در کارتهای هوشمند استفاده می‌شود بسیار کند است. بنابراین، اگرچه RSA هم تصدیق هویت و هم رمزنگاری را ممکن می‌سازد، در اصل برای تایید هویت منبع پیام از این الگوریتم در کارتهای هوشمند استفاده می‌شود و برای نشاندادن عدم تغییر پیام در طول ارسال و رمزنگاری کلیدهای آتی استفاده می‌شود. 

سایر سیستمهای کلید نامتقارن شامل سیستمهای لگاریتم گسسته می‌شوند مانند Diffie-Hellman، ElGamal و سایر طرحهای چندجمله‌ای و منحنی‌های بیضوی. بسیاری از این طرحها عملکردهای یک‌ـ‌طرفه‌ای دارند که اجازه تاییدهویت را می‌دهند اما رمزنگاری ندارند. یک رقیب جدیدتر الگوریتم RPK‌ است که از یک تولیدکننده مرکب برای تنظیم ترکیبی از کلیدها با مشخصات مورد نیاز استفاده می‌کند. RPK یک پروسه دو مرحله‌ای است: بعد از فاز آماده‌سازی در رمزنگاری و رمزگشایی (برای یک طرح کلید عمومی) رشته‌هایی از دیتا بطور استثنایی کاراست و می‌تواند براحتی در سخت‌افزارهای رایج پیاده‌سازی شود. بنابراین بخوبی با رمزنگاری و تصدیق‌هویت در ارتباطات سازگار است.

طولهای کلیدها برای این طرحهای جایگزین بسیار کوتاهتر از کلیدهای مورد استفاده در RSA‌ است که آنها برای استفاده در چیپ‌کارتها مناسب‌تر است. اما ‌RSA‌ محکی برای ارزیابی سایر الگوریتمها باقی مانده است؛ حضور و بقای نزدیک به سه‌دهه از این الگوریتم، تضمینی در برابر ضعفهای عمده بشمار می‌رود.

منابع

• ریاضیات گسسته، تالیف مگردیچ تومانیان
• آشنایی با رمزگشایی به روش ریاضی، آبراهام سینکوف
• سایت تبیان

گرایش های رشته ریاضی در کارشناسی ارشد و بالاتر

ریاضی محض دارای شاخه های زیر می باشد:  

۱-آنالیز زیاضی : این رشته خود دارای زیر مجموعه هایی چون آنالیز تابعی و آنالیز مختلط و آنالیز هارمونیک می باشد و بیشتر عنوان تز دانشجو مشخص کننده  رشته تخصصی دانشجوست. مقطع کارشناسی ارشد این رشته در اکثر دانشگاههای کشور که دانشجوی ارشد ریاضی دارند تدریس می شود. از دانشگاههای پیش کسوت در این رشته می توان دانشگاه شیراز و اصفهان و تربیت معلم تهران وشهید باهنر کرمان و فردوسی مشهد و ...که از  حدود ۱۵ سال پیش مقطع دکتری داشته اند را نام برد.

از بزرگان این رشته در ایران می توانیم مرحوم پروفسور غلامحسین مصاحب و مرحوم پروفسور کریم صدیقی و پروفسور رجبعلی پور و اسدا.. نیکنام و زعفرانی و یوسفی و... را نام ببریم.

۲-جبر:این رشته نیز دارای گرایشهایی چون نظریه گروهها و نظریه حلقه ها و مدولها و...می باشد.مقطع کارشناسی ارشد این رشته در اکثر دانشگاههای کشور که دانشجوی ارشد ریاضی دارند تدریس می شود. از دانشگاههای پیش کسوت در این رشته می توان دانشگاه تهران و صنعتی شریف و صنعتی اصفهان و شیراز و شهید چمران اهواز  و اصفهان و تربیت معلم تهران و شهید باهنر کرمان و فردوسی مشهد و یزد و... را نام برد.  

از بزرگان این رشته می توان به پروفسور محمد رضا درفشه و پروفسور کرم زاده و پروفسور احمد حقانی و پروفسور شریف و  ذاکری و... اشاره  کرد.

۳-هندسه: این رشته خود دارای زیر مجموعه هایی چون هندسه دیفرانسیل و هندسه جبری و هندسه منیفلد و ...می باشد. صاحب نظر و متخصص در این گرایش در ایران کم می باشد. از دانشگاههای دارای این رشته می توان دانشگاه تبریز و تهران و صنعتی امیر کبیر را نام برد. از صاحب نام جوان ایرانی در  این رشته می توان خانم دکتر مریم میرزاخانی را نام برد.

۴- توپولوژی: این رشته نیز دارای زیر مجموعه هایی چون توپولوژی دیفرانسیل و توپولوژی جبری و ... می باشد. از دانشگاههای دارای این رشته می توان به دانشگاه تبریز و تهران و چمران اهواز و اصفهان اشاره کرد. از بزرگان این رشته می توان آقای پروفسور مگردیچ تومانیان را نام برد.

۵- منطق و فلسفه ریاضی: این رشته در ایران جایگاه مناسبی ندارد و از دانشگاههایی که می توان در آن کارشناسی ارشد (و نه دکترا) در این گرایش گرفت دانشگاه صنعتی اصفهان و تهران می باشد. آقای پروفسور محمود بینای مطلق از بزرگان این رشته محسوب می شوند. 

۶-نظریه اعداد : متخصص در این گرایش نیر در ایران کم می باشد و در دانشگاهی چون صنعتی شریف و تهران می توان کارشناسی ارشد این گرایش را اخذ کرد. با اطلاعات حقیر در مقطع دکتری دانشگاهی در داخل وجود ندارد. 

 

ریاضی کاربردی 

دارای گرایشهای زیر می باشد:

۱-آنالیز عددی: از دانشگاههای صاحب نام و دارای متخصص پیش کسوت در این رشته می توان دانشگاه تربیت معلم تهران و یزد و سیستان و بلوچستان و تربیت مدرس ...را نام برد. از پیش کسوت در این رشته می توان پروفسور اسماعیل بابلیان و پروفسور مهدی کرباسی و ...را نام برد.

۲- تحقیق در عملیات: از دابشگاههای صاحب نام در این رشته می توان دانشگاه تهران و تربیت معلم  را نام برد. متخصص در این رشته در ایران زیاد نمی باشد. از صاحب نظران این رشته آقای دکتر جهانشاهلو را می توان نام برد.

۳-نظریه گراف و ترکیبیات: لازم به ذکر است که این گرایش در اغلب کشورهای خارجی زیر مجموعه ریاضی محض محسوب می شود. در این گرایش دانشگاه صنعتی شریف و شهید بهشتی دارای مقطع دکتری هستند و با تربیت دانشجویان زبده  در این مقطع دانشگاههایی چون صنعتی امیرکبیر و مرکز تحقیقات علوم پایه زتجان این گرایش را تدریس می نمایند. از بزرگان این رشته می توان پروفسور مهدی بهزاد و پروفسور عبادا... محمودیان را نام برد. متخصص در این رشته نیز در ایران کم می باشد.

۴-معادلات دیفرانسیل: از دانشگاههای دارای این گرایش در مقطع دکتری می توان دانشگاه علم و صنعت ایران و صنعتی شریف و تهران را نام برد. دانشگاههایی نظیر شیراز و یزد و تبریز در مقطع ارشد این گرایش را دارند.

 ۵-نظریه رمز و کریپتوگرافی: متخصص در این رشته بسیار کم است و از دانشگاههایی که در مقطع ارشد این رشته را دارند دانشگاه صنعتی شریف می باشد.

۶- ریاضیات مالی: تحقیق و تدریس در این رشته در ایران کم می باشد. اما مطمئنا در آینده جز رشته های پرطرفدار محسوب خواهد گردید.

۷- ریاضیات صنعتی:همانگونه که از نام این رشته پیداست کاربرد ریاضی در علوم فنی بررسی می شود. در ایران مقطع دکتری این رشته وحود ندارد اما دوره ارشد تدریس می شود. 

۸-بهینه سازی: متخصص در این رشته کم است و از دانشگاههای دارای دکتری در این رشته دانشگاه فردوسی مشهد می باشد و دکتر وحیدیان کامیاد از سرآمدان این رشته است.